Question

İlgili linkte yer alan $d_1$ ve $d_2$ metrikleri Lipschitz denk midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

Teorem: $(X,d_1),(X,d_2)$ metrik uzaylar olsun.

$d_1\overset{L}{\sim} d_2 \Leftrightarrow (\exists k\geq1)(\forall x,y \in X)(\frac{1}{k} \cdot d_1(x,y) \leq d_2(x,y) \leq k \cdot d_2(x,y)).$

Teorem gereği aynı küme üzerinde tanımlı iki metriğin Lipschitz denk OLMASI

$(\exists k \geq 1)(\forall x,y \in X)\left(\frac{1}{k} \cdot d_1(x,y) \leq d_2(x,y) \leq k \cdot d_1(x,y)\right)\ldots (*)$

önermesinin DOĞRU OLMASI anlamına geliyor. Dolayısıyla aynı küme üzerinde tanımlı iki metriğin Lipschitz denk OLMAMAMASI da $(*)$ önermesinin DOĞRU OLMAMASI yani $(*)$ önermesinin değili olan $$(\forall k \geq 1)(\exists x,y \in X)\left(\frac{1}{k} \cdot d_1(x,y) > d_2(x,y) \vee d_2(x,y) > k \cdot d_1(x,y)\right)\ldots (**)$$ önermesinin DOĞRU OLMASI anlamına gelir.

Soruya dönecek olursak ilgili linkteki metriklerin kuralları  $$d_1(x,y):=|x-y|$$ ve $$d_2(x,y):=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$$ idi.

Şimdi her $k \geq 1$ için $x:=2k \in \mathbb{R}$ ve $y:=k \in \mathbb{R}$ seçilirse

$\frac{1}{k} \cdot d_1(x,y)=\frac{1}{k} \cdot |2k-k|=1 > \frac{k}{1+k}=\frac{|2k-k|}{1+|2k-k|}=d_2(x,y)$

koşulu sağlanır yani $(**)$ önermesi doğru yani $d_1\overset{L}{\nsim} d_2$ olur.