$n \in \mathbb{N^+}$ ise $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=?$

Question

$n \in \mathbb{N^+}$ olmak üzere $$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1$$  olduğunu gösteriniz.

Answer 1

Maksat bir üst sınır olsun.

$n\ge k\ge2$ bir tam sayı olmak üzere, aritmetik-geometrik ortalama ilişkisini  $k$ tane $n^{1/k}$ ve $n-k$ tane $1$ için uygularsak $$n^{1/n}\le \dfrac{n-k+kn^{1/k}}{n}=1-k\cdot n^{-1} +k \cdot n^{-1+\frac1k}$$ eşitsizliği sağlanır.

 

$k=2$ gibi sabit bir sayı seçmemiz yeteri. Daha verimli bir üst sınır için $k$ değeri daha büyük alınabilir.

Answer 2

$\sqrt[n]n-1=\alpha_n$ olsun.   $\sqrt[n]n\ge1$  olduğundan $\alpha_n\ge 0$

$n\ge2$ için binom açılımından $n=(1+\alpha_n)^n=1+n\cdot \alpha_n+\frac{n\cdot (n-1)}{2}\cdot\alpha _n^2+...+\alpha _n^n\ge \frac{n\cdot (n-1)}{2}\cdot\alpha _n^2$

$n\ge2$ için  $n-1\ge \frac{n}{2}$  olduğundan yukardaki eşitsizlik $n\ge \frac{n^2\cdot\alpha _n^2}{4}$ olarak ifade edilebileceğinden $0\le \alpha_n\le \frac{2}{\sqrt n}$  ve sıkıştırma teoreminden $$\lim\limits_{n\to \infty}\alpha_n=0$$ olur.

Limite geçilirse $$\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=\lim\limits_{n\to \infty}(1+\alpha_n)=1$$ olmalıdır.