Düzlemdeki n çemberin düzlemi ayırdığı maksimum alt bölge sayısını B(n) ile gösterelim.
B(0)=1,B(1)=2,B(2)=4,B(3)=8 olduğunu görebiliriz. Bir çember diğer bir çemberi kestiğinde bölge sayısını 2 arttırdığını ve bu artışın iki çemberin kesim noktalarının sayısı olan 2 ye eşit olduğunu gözlemleyelim. Buna göre n inci çember kendisinden önceki n−1 çember ile en çok 2(n−1) noktada kesişecektir; yani n−1 çemberin oluşturduğu bölge sayısına 2(n−1) bölge daha eklenmelidir. Matematiksel olarak n inci çember çizildiğinde oluşan bölge sayısı için B(n)=B(n−1)+2(n−1) bağıntısını yazabiliriz. Bağıntıyı 2,3,4,...,n değerleri için yazıp toplarsak B(n)=B(1)+∑2(n−1)=n2−n+2 bulunur.
Aşağıdaki gibi bir konfigürasyon düşünülürse çemberlerin eş seçilmesi sonucu değiştirmez.
r yarı çaplı n tane çember verilsin. Çemberlerin hepsinin birbiriyle kesişimini garantiliyebilmek için çemberlerin merkezlerini R yarı çaplı bir çember üzerinde seçelim.
R>r ise sadece ardışık çemberler birbiriyle kesişir. Özel olarak R=2√3r durumunda üç çember birbirine teğettir.
R=r alırsak aynı noktadan geçen çemberler oluşacağından maksimum kesişim noktası sayısı, yani maksimum bölge sayısı şartı sağlanmaz.
R<r olacak şekilde seçilirse her bir çember diğer çemberlerle kesişeceğinden maksimum bölge sayısı elde edilir.