Problem 1'in Çözümü: x=1 için y!=z! ve y+z=22 olup y=z=11 bulunur. Simetriden dolayı (x,y,z)=(1,11,11),(11,1,11) çözümleri elde edilir.
2≤x≤y≤z kabul edebiliriz. Bu durumda x+y+z=23 denklemine göre y≤10 olmalıdır. Eğer x!⋅y!=z! denkleminin pozitif tam sayılarda çözümü varsa x!=y+1,(y+1)(y+2),(y+1)(y+2)(y+3),… gibi x! sayısını bir kaç ardışık pozitif tam sayının çarpımı olarak yazılabilmelidir.
x=2 için 2!=y+1 denirse y=1 olup uygun çözüm değildir.
x=3 için 3!=y+1 denirse y=5 olur. 3!⋅5!=6!=z! olup z=6 bulunur. Fakat x+y+z=14≠23.
x=3 için 3!=(y+1)(y+2) denirse y=1 olup x≤y koşuluna uymaz.
x=4 için 4!=y+1 denirse y=23 olur. y≤10 koşuluna uymaz.
x=4 için 4!=(y+1)(y+2) denirse uygun y yoktur.
x=4 için 4!=(y+1)(y+2)(y+3) denirse y=1 olup x≤y koşuluna uymaz.
x=5 için 5!=y+1,(y+1)(y+2) veya (y+1)(y+2)(y+3) durumlarını inceleriz ve uygun çözüm yoktur. y≥5 olduğundan (y+1)(y+2)(y+3)≥210>120 dir. Yani 5! sayısını 2 den fazla ardışık sayının çarpımı olarak yazmak da mümkün değildir.
x=6 için 6!=y+1,(y+1)(y+2) durumlarında çözüm yoktur. 6!=(y+1)(y+2)(y+3)=8⋅9⋅10 olup y=7 çözümü vardır. Bu halde 6!⋅7!=10!=z! olup z=10 elde edilir. Ayrıca x+y+z=23 eşitliği de sağlanır. Simetriden dolayı (x,y,z)=(6,7,10),(7,6,10) çözümleri elde edilir.
7≤x≤y için 7∣x! ve 7∣y! olduğundan 72∣z! dir. Bu halde z≥14 olmalıdır. x+y+z≥7+7+14=28>23 olduğundan, bu durumda da çözüm yoktur.
Sonuç olarak verilen denklem sistemini sağlayan 4 tane pozitif tam sayı üçlüsü vardır.
Problem 2'nin Çözümü için Fikir: Düzeltmeyi de göz önüne alarak, başlangıç olarak bir şeyler söyleyebiliriz.
x+y+z=51 verilmişti. 524=13 tür. Simetriden dolayı x≤y kabul edebiliriz. y≥x≥13 iken 13∣x! ve 13∣y! olduğundan 132∣z! olmalıdır. Bu ise z≥26 olmasını gerektirir. x+y+z≥13+13+26=52>51 dir. Dolayısıyla y≥x≥13 durumlarında çözüm olmadığını anlamış oluyoruz.
x≤12 durumlarının analiz edilmesini de uygun bir vakitte yapmaya çalışalım.