Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
832 kez görüntülendi

1)  x,y,z  pozitif tam sayıları için x!.y!=z!

  x+y+z=23
  eşitlikleri sağlanıyor ise bu sayıları bulunuz.

 

2) x,y,z  pozitif tam sayıları için x!.y!=z!

  x+y+z=51
  eşitlikleri sağlanıyor ise bu sayıları bulunuz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (3.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 832 kez görüntülendi
Birincisi için x=z=11 ve y=1 alınabilir. İkincisi için de x=z=26 ve y=0 alınabilir.
Hocam ilki için bir çözüm (xyz) daha var. İkincisinde y pozitif değil.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Problem 1'in Çözümü: x=1 için y!=z! ve y+z=22 olup y=z=11 bulunur. Simetriden dolayı (x,y,z)=(1,11,11),(11,1,11) çözümleri elde edilir.

2xyz kabul edebiliriz. Bu durumda x+y+z=23 denklemine göre y10 olmalıdır. Eğer x!y!=z! denkleminin pozitif tam sayılarda çözümü varsa x!=y+1,(y+1)(y+2),(y+1)(y+2)(y+3), gibi x! sayısını bir kaç ardışık pozitif tam sayının çarpımı olarak yazılabilmelidir.

x=2 için 2!=y+1 denirse y=1 olup uygun çözüm değildir.

x=3 için 3!=y+1 denirse y=5 olur. 3!5!=6!=z! olup z=6 bulunur. Fakat x+y+z=1423.
x=3 için 3!=(y+1)(y+2) denirse y=1 olup xy koşuluna uymaz.

x=4 için 4!=y+1 denirse y=23 olur. y10 koşuluna uymaz.
x=4 için 4!=(y+1)(y+2) denirse uygun y yoktur.
x=4 için 4!=(y+1)(y+2)(y+3) denirse y=1 olup xy koşuluna uymaz.

x=5 için 5!=y+1,(y+1)(y+2) veya (y+1)(y+2)(y+3) durumlarını inceleriz ve uygun çözüm yoktur. y5 olduğundan (y+1)(y+2)(y+3)210>120 dir. Yani 5! sayısını 2 den fazla ardışık sayının çarpımı olarak yazmak da mümkün değildir.

x=6 için 6!=y+1,(y+1)(y+2) durumlarında çözüm yoktur. 6!=(y+1)(y+2)(y+3)=8910 olup y=7 çözümü vardır. Bu halde 6!7!=10!=z! olup z=10 elde edilir. Ayrıca x+y+z=23 eşitliği de sağlanır. Simetriden dolayı (x,y,z)=(6,7,10),(7,6,10) çözümleri elde edilir.

7xy için 7x! ve 7y! olduğundan 72z! dir. Bu halde z14 olmalıdır. x+y+z7+7+14=28>23 olduğundan, bu durumda da çözüm yoktur.

Sonuç olarak verilen denklem sistemini sağlayan 4 tane pozitif tam sayı üçlüsü vardır.

 

Problem 2'nin Çözümü için Fikir: Düzeltmeyi de göz önüne alarak, başlangıç olarak bir şeyler söyleyebiliriz.

x+y+z=51 verilmişti. 524=13 tür. Simetriden dolayı xy kabul edebiliriz. yx13 iken 13x! ve 13y! olduğundan 132z! olmalıdır. Bu ise z26 olmasını gerektirir. x+y+z13+13+26=52>51 dir. Dolayısıyla yx13 durumlarında çözüm olmadığını anlamış oluyoruz.

x12 durumlarının analiz edilmesini de uygun bir vakitte yapmaya çalışalım.
(2.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Teşekkürler Lokman Hocam. İkinci soruda  51  yerine  sehven 52 yazmışım. Doğrusu x+y+z=51 olacaktı.

İlk sorunun  trivial olmayan tek çözümünün  6!7!=10! olduğunu biliyordum. Siz de göstermiş oldunuz.
0 beğenilme 0 beğenilmeme

İkinci soru için şöyle bir çözüm düşünülebilir:

İyi bilinen n(n1)!=n!  özdeşliğinde n=a,a!1=y,a!=z yazarsak  eşitlik a!(a!1)!=(a!)!

 şekline dönüşür (bu eşitliğin sonsuz pozitif tam sayı çözümü vardır: bakınız.) Bu eşitlikte  x=a,y=a!1,z=a!  alıp   x+y+z=51 eşitliğinde yerine yazarak   a[2(a1)!+1]=52
Bu eşitliği sağlayan tek tam sayı değerinin a=4 olduğu kolaylıkla görülür. Buna göre x=4,y=23,z=24  bulunur. Dolayısıyla çözümler (4,23,24)  veya simetriden (23,4,24) olmalıdır. Bu yöntem ilk soruda çalışmaz.

(3.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,329 soru
21,886 cevap
73,617 yorum
2,985,587 kullanıcı