Sorunun tam cümlesi, "A ve B kümelerinin birbirine denk olmasını sağlayacak bir denklik bağıntısı var mıdır?" şeklinde mi?
Eğer soru buysa, böyle bir bağıntı var diye düşünüyorum. Sadece B kümesinin genişletilmiş gerçel sayılar verilmesi beni biraz tedirgin etti. Çünkü daha sonra ∓∞ sayılarıyla (yoksa nesneleriyle/objeleriyle mi desem) işlem yapmam da gerekebilir. Bunun sonucunda yazacağım şey, henüz ben fark edemiyor olsam da kendi içinde tutarsız bir noktaya doğru evrilebilir. B=(−∞,+∞) verilseydi bu tür bir kaygım olmayacaktı. Uyarılarımı yaptım, artık başlayayım:
[−∞,+∞] üzerinde β bağıntısını
A,B⊆[−∞,+∞]⟺(A,B)∈β olarak tanımlayalım. β bağıntısı yansıma, simetri, geçişme özelliklerine sahiptir. Yani denklik bağıntısıdır. Böyle bir bağıntıda her küme birbirine denktir. Bu sebeple A,B kümelerini ne seçersek seçelim (A,B)∈β (veya farklı yazılışlarla AβB veya A≡B) olur.
Neden böyle bir örnek düşündüm? Açıklayayım. Tam sayılarda çok büyük bir eleman ile çok küçük bir elemanı denkleştirmek istserem \mod 1 kullanırdım. Tüm tam sayılar birbirine denk olur ve sorun çözülür. Bu fikri kümelerde uyguladım.