Sorunun tam cümlesi, "A ve B kümelerinin birbirine denk olmasını sağlayacak bir denklik bağıntısı var mıdır?" şeklinde mi?
Eğer soru buysa, böyle bir bağıntı var diye düşünüyorum. Sadece B kümesinin genişletilmiş gerçel sayılar verilmesi beni biraz tedirgin etti. Çünkü daha sonra ∓∞ sayılarıyla (yoksa nesneleriyle/objeleriyle mi desem) işlem yapmam da gerekebilir. Bunun sonucunda yazacağım şey, henüz ben fark edemiyor olsam da kendi içinde tutarsız bir noktaya doğru evrilebilir. B=(−∞,+∞) verilseydi bu tür bir kaygım olmayacaktı. Uyarılarımı yaptım, artık başlayayım:
[−∞,+∞] üzerinde β bağıntısını
A,B⊆[−∞,+∞]⟺(A,B)∈β olarak tanımlayalım. β bağıntısı yansıma, simetri, geçişme özelliklerine sahiptir. Yani denklik bağıntısıdır. Böyle bir bağıntıda her küme birbirine denktir. Bu sebeple A,B kümelerini ne seçersek seçelim (A,B)∈β (veya farklı yazılışlarla AβB veya A≡B) olur.
Neden böyle bir örnek düşündüm? Açıklayayım. Tam sayılarda çok büyük bir eleman ile çok küçük bir elemanı denkleştirmek istserem mod1 kullanırdım. Tüm tam sayılar birbirine denk olur ve sorun çözülür. Bu fikri kümelerde uyguladım.