$\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ Eşitliği

Question

$p$ asal sayısı için $$\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$$ denkleminin birbirinden farklı ($x\neq y$) tek çözümünün $$x=p+1, y=p^2+p$$ olduğunu gösteriniz.

Kolay bir sonuç. Burada bulunsun.

Answer 1

$\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ denkleminin $x<y$ koşulu altındaki pozitif tam sayı çözümleri isteniyor. $xy - px - py = 0$ olup her iki tarafa $p^2$ eklersek, $xy - px - py +p^2 = p^2 \implies (x-p)(y-p)=p^2$ dir. $p^2$ nin pozitif tam bölenleri $3$ tanedir. Bunlar $1, p, p^2$.

$x<y$ koşuluna uygun olarak sadece $x-p=1$, $y-p = p^2$ durumu vardır ve $(x,y)=(p+1, p^2+p)$ çözüm ikilisi elde edilir.

Comments

$p=2$ durumunda ($x=y$ mümkün ve), $x=y=4$ çözümü de ortaya çıkıyor. (Soruda, "farklı" sözcüğü ile, herhalde $x\neq y$ kastedilmiş)

---

Evet hocam $x\neq y$ kastediliyor. Soruya ekledim bunu.

---

Aksi halde, "farklı" sözcüğünden, $(x,y)$ ve $(y,x)$ çözümlerini ayrı ayrı saymamak anlaşılır diye eklemek istedim.

---

Doğan Dönmez hocamın uyarısına hak veriyorum. Tek çözüm çiftinin olduğu gösterilmesi istenildiği için, "farklı" sözcüğü ile $x\neq y$ olmakla beraber $(x,y)$ ikilisi ile $(y,x)$ ikilisinin de aynı olarak alınması istenmiş olmalı diye düşündüm. Açıkça, simetriden dolayı $(x,y) = (p^2 + p, p+1)$ ikilisi de bir başka çözüm olacaktır. Bu nedenlerden dolayı, çözüme başlarken "denklemin $x<y$ koşulu altındaki çözümleri isteniyor" cümlesini ekleme gereği duydum.

---

Aslında denklemin proper denilen farklı / ayrık çözümlerini kastetmek istedim. $m/n$ şeklindeki basit kesirlerin bu tarz birçok gösterimi olabiliyor. Örneğin $4/5=1/2 + 3/10$  şeklinde proper olarak veya  $4/5=4/10+4/10$ şeklinde improper olarak yazılabiliyor malumunuz. $x=y=2p$ çözümünü elemek amacıyla farklı kelimesini kullandım. Ama uyarılarınızla iddia daha net oldu. Teşekkür ediyorum.