$BC\cdot BP\cdot CP + CA\cdot CP\cdot AP + AB\cdot AP\cdot BP\geq AB\cdot BC\cdot CA$

Question

Yabancı bir sitede gördüğüm bir problemdir. Güzel bir geometrik çözüm buldum, bunu da bir süre sonra paylaşacağım.

$\color{red}{\text{Problem:}}$ $ABC$ üçgeninin içinden bir $P$ noktası alınıyor. $$BC\cdot BP\cdot CP + CA\cdot CP\cdot AP + AB\cdot AP\cdot BP\geq AB\cdot BC\cdot CA$$ eşitsizliğini kanıtlayınız.

Answer 1

$\color{red}{\textbf{Çözüm:}}$ Eşitsizliğe geometrik bir ispat vereceğim.

$|BC|=a, |CA|=b, |AB|=c, |AP|=x, |BP|=y, |CP|=z$ diyelim. Bu halde orijinal problemdeki eşitsizlik
$$ayz + bzx + cxy \geq abc \tag{1}$$
biçiminde yazılır. $BCPD$ ve $ABDE$ paralelkenarlarını çizelim. Böylece $|AE|=|BD|=|CP|=b$ olup ayrıca bu doğru parçaları birbirine paraleldir. O halde, $ACPE$ bir paralelkenardır ve $|PE|=|CA|=b$ olur. Bununla birlikte $|PD|=a, |DE|=c$ eşitliklerini yazabiliriz.
$APBD$ ve $APDE$ dörtgenlerinde Ptolemy eşitsizliğini uygularsak
$$|AD|\cdot y + xz \geq ac \tag{2}$$
$$az + xc \geq |AD|\cdot b \tag{3}$$
Şimdi $(2)$ eşitsizliğini $b$ ile ve $(3)$ eşitsizliğini $y$ ile çarpalım.
$$|AD|\cdot b y + bzx \geq abc \tag{4}$$
$$ayz + cxy \geq |AD|\cdot b y \tag{3}$$
eşitsizliklerine ulaşırız. Bunları taraf tarafa toplarsak, $(1)$ eşitsizliği olan
$$ayz + bzx + cxy \geq abc$$
ifadesine ulaşırız.

$\color{red}{\textbf{Not:}}$ Ayrıca eşitlik koşulunu da belirleyebiliriz. Ptolemy eşitsizliğinin eşitlik koşulu, $APBD$ ve $APDE$ kirişler dörtgeni iken gerçekleşir. Böylece,
$$\angle PAB = \angle PDB = \angle PCB = \alpha$$
$$\angle PBA = \angle PDA = \angle PEA = \angle PCA = \beta$$
$$\angle PAC = \angle EPA = \angle EDA = \angle DAB = \angle DPB = \angle PBC = \gamma$$
olur. Buna göre, $ABC$ üçgeninin iç açılar toplamından $2(\alpha + \beta + \gamma) = 180^\circ$ olup $\alpha + \beta + \gamma = 90^\circ$ elde edilir. Böylelikle eşitlik durumunun ancak ve ancak, $ABC$ üçgeninin dar açılı olması ve $P$ nin de bu üçgenin diklik merkezi olması durumunda sağlandığını anlarız.