$ABC$ üçgeninin iç merkezi $I$ olsun. $P$ ise bu üçgenin içinde $$\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB$$ eşitliğini sağlayan bir nokta. $|AP|\ge |AI|$ olduğunu ve eşitliğin tam olarak $P=I$ iken gerçekleştiğini kanıtlayın.

Question

$\angle PBA$, $P, B, C$ noktalarının oluşturduğu açıyı; $|AP|$ ise $AP$ doğru parçasının uzunluğunu temsil etmektedir.

Comments

Kaynak: 2006 IMO, Problem 1.

Answer 1

Verilen ozelligi saglayan herhangi bir $P$ noktasi icin

$$\angle ABC + \angle ACB = \angle PBA + \angle PBC + \angle PCA + \angle PCB$$   $$\implies \angle PCB + \angle PBA = \frac{\angle ABC + \angle ACB}{2}$$

esitligi saglanir. $PBC$ ucgeninde icacilarin toplami $\pi$ olacagindan, 

$$\angle BPC = \pi - \angle PCB - \angle PBC = \frac{2\pi - \angle ABC - \angle ACB}{2} = \frac{\pi + \angle BAC}{2}$$

esitligini elde ederiz. Dolayisiyla soruda verilen ozelligi saglayan $P$ noktalari, $BC$ kenarini hep $\frac{\pi+\angle BAC}{2}$ acisi altinda goren noktalardir, ve bu noktalar $BC$ dogru parcasini kiris kabul eden bir yaydir. Yayin cemberinin merkezi $O$, $BC$nin ortadikmesi uzerinde ve $\angle CBO = \frac{\angle CAB}{2}$ olacak sekilde $BC$'nin $A$nin olmayan tarafindadir. 

$AO$ dogrusunun $I$dan gectiginin ispati yukaridaki sekildeki gibi: $AOB$ ve $AOB'$ ucgenleri denktir cunku kurulum geregi

$\angle ABB' = \frac{\angle BAC + \pi}{2} - \angle BAC = \frac{\pi - \angle BAC}{2} = \pi - \frac{\pi + \angle BAC}{2} = \angle AB'B$   

Dolayisiyla turkuaz cember uzerindeki her nokta istegimiz ozelligi saglar. Ustune ustluk $AO$ $I$ noktasindan gectigi icin, $A$ merkezli $AI$ yaricapli cember, tukuaz cembere tegettir ve $|AP| \geq |AI|$ esitsizligi esitlik sadece ve sadece $P=I$ oldugu durumda saglanir.

Answer 2

İlk çözümümdeki mantık genel çözüme kolaylıkla uyarlanabiliyor.

Answer 3

Çözüm yollarından birisi:

Comments

$AD$ aciortayi neden $BC$'ye dik? Genel bir ucgen icin bu yanlis, cozum ikizkenar ucgen icin dogru gibi duruyor.

Answer 4

Hocam ben açıların çapraz olarak toplamlarının eş olduğunu anlamışım.

Ondan dolayı üçgeni ikizkenar bulmuşum.

Uyarınız için teşekkür ederim. Genel çözüme ulaşmaya çalışayım...