Question

 $\displaystyle\left( 2^{10}\right)!>2^{2^{13}}$ olduğunu gösteriniz.

Comments

2 üzeri (2 üzeri 13) ü gösterirken parantez kullanırsan çok daha sağlıklı olur hocam.

Answer 1

Benim aklıma bu geldi.Belki logaritma ile bir çözüm daha yapılabilir.

Comments

Garanti ettiğini nerden bilebiliriz ki hocam. 

---

Zaten 2 çarpanı bulunduran sayılar birbirine oldukça yakın 1024! sayısının içinde 2 sayısını bulundurmayan sayılarında çarpım şeklinde bulunduğunuda göz önünfde bulundurursak geçtiğini söylebiliriz.Anladığım kadarıyla kesin bir çözümünü istiyorsun, logaritma ile yapılabilir mi bir bakalım.

---

Hocam sezgisel bir yaklaşım olmaz mı dediğiniz. 2^(8192-1023) lük bir kat farkı var. Oldukça büyük bir sayı buda. Yaklaşık 2159 rakamlı bir sayıya tekabül ediyor. 

---

Doğru söylüyorsun,üstüne düşünülmesi gereken bir soru biraz daha bakayım ben soruya.

---

Hocalarım ben şöyle bir yorum düşündüm.1024! sayısının içindeki sıfırlar 253 tane diğer taraftan 2 üzere 8192 ifadesini 8192*(log2)+1 şeklinde basamak sayısını buldum o ifade 2457.6 çıkar 2458 basamaklıymış yani .Şimdi 1024! sayısının sonunda 253 tane sıfır varsa önünde 2000 den az rakam vardır diye düşünüyorum(tamamen sezgisel) yanı ifade yanlış diyorum sizlere sormak istediğim bu çözüm düzgün hale getirilip doğru çözüm şekline uyarlanabilir mi?  

Answer 2

n! yaklaşık olarak$(\frac{n}{e})^n \sqrt{2 \pi n}$ yazarsanız rahatlıkla büyük olduğu görülüyor

Comments

$9 \tilde{} 10.1$ ise $10>10.1$ mi, yoksa $10.1>10$. Yani yaklasiklik ne taraftan, ne kadar yaklasik. Bu yaklasiklik her $n$ icin mi dogru yoksa tum $n$'ler icin mi? Tabi her sayi elbet bir sekilde birbirine yakindir ama hata payi nedir?

---

Burada bir tablo var, 

http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/series/stirlingFormula.htm

eşitsizlik çözerken kötü ihtimale göre çözmek gerekir n! bu değerden küçük olsun (küçük taraftan yaklaşık) yinede verilen ifadenin diğerinden oldukça büyük olduğu görülüyor

---

sol taraftaki ifade zaten asiri buyuk, oyle boyle degil.

Answer 3

$1024!>1\cdot2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot8\cdots=2^{\sum\limits_{k=0}^9k2^k}=2^{2^{13}+2}>2^{2^{13}}$.