Sağdaki 3 basamağı soldaki 3 basamağından 1 fazla olan tüm 6 basamaklı TAM KARE sayıları bulunuz.

Question

(10 tabanında yazıldığında) Sağdaki 3 basamağı, soldaki 3 basamağından 1 fazla olan tüm 6 basamaklı tam kare sayıları bulunuz.

(1993 Britanya Matematik Olimpiyatları 1. turunda, böyle bir sayı bulunması sorusu sorulmuş.)

Comments

Sağdaki üç basamağı soldaki üç basamağından 1 fazla kısmını doğru anlamış mıyım: 153154 böyle bir sayı mı?

---

Evet tam bu şekilde.

---

sixDigitNumbers=FromDigits/@Flatten/@ IntegerDigits/@Transpose@{Range[100,998],Range[101,999]};
Pick[sixDigitNumbers,IntegerQ/@Sqrt@sixDigitNumbers]
{183184,328329,528529,715716} 

 

---

Bilgisayar kullanmadan bulalım :-)

Answer 1

Sayının (10 tabanında yazılışında) soldaki 3 basamaklı kısmına $x$ diyelim.
    Sayımız $1001x+1$ olur.
    Bir $n\in\mathbb{N}$ için $1001x+1 =n^2$ olsun. $316< n<1000$ olmak zorundadır.
    $1001x=n^2-1=(n-1)(n+1)$ olur.
    $1001\mid (n-1)(n+1)$ ama $1001\nmid n-1$ ve $1001\nmid n+1$ dir.
    $1001=7\cdot11\cdot13$ dür, öyleyse bu 3 asal sayıdan ikisi, $n\pm1$ sayılarından birini, üçüncüsü de diğerini böler. $\{p,q,r\}=\{7,11,13\}$ olsun.
    Öyleyse bir $pq ,\ n\pm1$ den birini böler ve o sayı, $\mod r,\ \pm2$ ye denk olur.

($[316,1000]$ aralığında, uygun değerler  $\boxed{\textbf{koyu}}$)
    $\begin{array}{cc}     pq=77\text{ nin katları}& \mod 13 \\385    & 8  \\462    & 7  \\539    & 6  \\616    & 5  \\693    & 4   \\770    & 3   \\\boxed{\mathbf{847}}& \boxed{\mathbf{2 } } \\924    & 1\end{array}$
$\begin{array}{cc}       pq=91\text{ nin katları}    & \mod 11   \\  364 & 1  \\  455 & 4 \\  546 & 7  \\  637 & 10 \\  \boxed{\mathbf{728}} & \boxed{\mathbf{2}}   \\  819 & 5  \\  910 & 8   \end{array}$
    $\begin{array}{cc}          pq=143\text{ nin katları}    & \mod 7  \\          \boxed{\mathbf{429}} & \boxed{\mathbf{2}} \\      \boxed{\mathbf{572}} & \boxed{\mathbf{-2}} \\          715 & 1 \\          858 & 4 \\     \end{array}$
$n=846,\ n=727,\ n=428,\ n=573$ olabilir.
$846^2=715.716$
$727^2=528.529$
$428^2=183.184$
$573^2=328.329$ olur.

Comments

Şurada sadece 183,184 ün (biraz farklı bir şekilde) bulunuşu var.