Question

$[0,1)\times [0,1) \cong [0,1)\times (0,1)$ olduğunu gösteriniz.

Comments

yorum : $A, B$ homeomorfik ise $C\times A\approx C\times B$'nin tersi önermesine çok güzel bir karşı örnek oluyor bu soru.

Answer 1

Aşağıdaki şekildeki (kırmızı) L şekillerini (mavi) I şekillerine (kırık çizgiyi düz çizgiye dönüştürüp uzunluklarını da düzenleyip)  dönüştürerek bir homeomorfizma oluşurabiliriz:

 

$\phi(x,y)=\begin{cases}\left(y,\frac{1-x}{2(1-y)}\right) & , & x\geq y\text{ ise}\\ \left(x,\frac{1+y-2x}{2(1-x)}\right) & , & y\geq x\text{ ise}\end{cases}$

 

$\psi(x,y)=\begin{cases}(2(x-1)y+1,x) & , & y\leq \frac12\text{ ise} \\ (x,2(1-x)y+2x-1) & , & y\geq \frac12\text{ ise}\end{cases}$

 

Comments

Düşünce harika.