Trigonometrik dönüşüm yardımıyla yapılan integraller hakkında küçük detay soru

Question

Sorumu örnek vererek açıklamak istiyorum.

$\int \dfrac{dx}{\sqrt{25x^{2}-4}}$ uygun dönüşüm yapıldığında $x=2/5 sec\theta$ dahasında elimizde

$\int \dfrac{\sec \theta \tan \theta d\theta }{\sqrt{4\left( \sec ^{2}\theta -1\right) }}=2/5\int \dfrac{\sec \theta \tan \theta d\theta }{2\sqrt{\tan ^{2}\theta }}=\dfrac{2}{5}\int \dfrac{\tan \theta \sec \theta d\theta }{ \tan \theta}(!!!!)=2/5 \int sec\theta d\theta$

Sorum $(!)$ işaretinin olduğu yerde. $\dfrac{2}{5}\int \dfrac{\tan \theta \sec \theta d\theta }{\left| \tan \theta \right| }$ olarak çıkması gerekmiyor mu? Gönül rahatlığıyla nasıl direk bir şekilde $tan\theta$ yazabiliyoruz.

Comments

Haklısın.  O çözüm biraz özensiz olmuş.

İntegralin hangi aralıkta alınacağını bilmeden mutlak değerden kurtaramayız.

---

$x=\sec \theta$ donusumu yapiyorsaniz, $0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$ olmasi lazim (veya $\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$). O aralikta $\tan\theta\geq0$ dir. Ters trigonometric fonksiyon kullanacaginiz icin fonksiyon 1-1 olmali.

---

çözdüğüm tüm belirsiz integral sorularında (bu tarzda, bilhassa üç dönüşümün kullanıldığı sinx,tanx,secx) kök dışarısına mutlak değersiz çıkarılmış.

---

Diğer iki durumda ters fonksiyonun tanım kümesi aralık olduğundan mutlak değerden kurtulmak mümkündür.

Sadece bu durumda mutlak değerden kurtulamayız, çünki $\{x:25x^2-4\geq0\}=(-\infty,{-2\over 5}]\cup [{2\over 5},+\infty)$ aralık değil.  $\sec$ fonksiyonu da $[0,{\pi\over2})\cup ({\pi\over2},\pi]$ kümesinde 1-1 dir ve ters fonksiyonu genellikle bu kümede tanımlanır. Ama bu kümede ($5x=2\sec \theta$ ise) $\sqrt{25x^2-4}=2|\tan\theta|$ olur ve bu aralıklarda $\tan$ fonksiyonu farklı işaretlere sahiptir.