Mertebesi çift olan bir grubun, mertebesi $2$ olan elemanlarının sayısı tektir.

Question

Teorem: Mertebesi çift olan bir grubun, mertebesi $2$ olan elemanlarının sayısı tektir.

Sorunun üzerinde biraz düşündüm ve cevabını bulmaya yakınım. Yarın cevap ekleyebilirim.

Answer 1

$G$ bir grup ve mertebesi çift. Eğer $x\in G$ ve $|x|=2$ ise terside kendisine eşittir. Bundan dolayı mertebesi $2$ olanları bir küme içine yazabiliriz. Birim elemandan ve mertebesi $2$'den farklı diğer elemanları aşağıdaki küme gibi yazabiliriz.

$G=\left \{ e_G \right \}\bigcup$ $\{$Mertebesi $2$ olan elemanlar$\}$ $\bigcup\left \{ x_1,x_2,x_3,...,x_1^{-1},x_2^{-1},... \right \}$

$G$'nin mertebesi ve $\{ x_1,x_2,,...,x_1^{-1},x_2^{-1},... \}$ bu kümenin eleman sayısı çift. Dolayısıyla mertebesi $2$ olan elemanlarının sayısı tek olur.