Question

$\int _0^{\frac{\pi }{2}}\:\frac{sin^{\sqrt{5}}x}{cos^{\sqrt{5}}x+sin^{\sqrt{5}}x}=?$

Eğer paydada sin,cos gibi ifade görürsem tanx dönüşümü yaparım diye düşünürdüm hep ama bu soru için ne yapıcağıma dair fikrim bile yok

Comments

Bu soru, (özel bir aralıkta, belirli integral olduğu için) dönüşümle değil de, $\sin$ ve $\cos$ fonksiyonlarının başka bir özelliği ile çözülebilir. ($\sqrt5$ in önemi yok)

$\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{\sin^a x+\cos^a x}{\sin^a x+\cos^a x}\,dx=\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{\sin^a x}{\sin^a x+\cos^a x}\,dx+\int_0^{\frac\pi2}\dfrac{\cos^a x}{\sin^a x+\cos^a x}\,dx$

Şimdi sağdaki integrallerden birini diğerine dönüştürmeye dene.

---

sin cos dönüşümleri için en basit şekilde şunu yazabiliriz, $sin(\pi/2-x)=cosx$

---

Şimdi artık soruyu yanıtlayabilirsin.