Question

$\lim\limits_{x\rightarrow 2^{-}}e^{\frac{1}{x-2}}=0$ olduğunu gösterin.              $(\varepsilon-\delta)$ yolu ile

$\forall \varepsilon >0 ,\exists \delta  >0:2-\delta  <x <2 \to \left| e^{\frac{1}{x-2}}-0\right|  <\varepsilon$

Buradan sonra ne yazmalıyım ?

Comments

$$2-\delta<x<2$$ yani $$-\delta<x-2<0$$ iken $$|e^{\frac1{x-2}}|=e^{\frac1{x-2}}<\epsilon$$ olması için $$\delta>0$$ sayısının nasıl seçilmesi gerektiğini düşün. $\epsilon\geq 1$ için $\delta$ sayısını bulmak kolay. $0<\epsilon<1$ iken $\delta$ sayısının nasıl seçilmesi gerektiğini bulmaya çalış.

Answer 1

$e^{\frac1{x-2}} < \varepsilon \to \dfrac{1}{x-2}<ln(\varepsilon)$

$x-2 < \dfrac{1}{\varepsilon} \to x < \dfrac{1}{\varepsilon}+2$

$\delta = - \dfrac{1}{ln(\varepsilon)}=  \dfrac{1}{ln(1/\varepsilon)}$

Comments

Biraz daha dikkat et.

Answer 2

$$|e^{\frac1{x-2}}-0|=e^{\frac1{x-2}}<e^{\frac1{-\delta}}=e^{-\frac1{\delta}}$$ olduğundan her $0<\epsilon<1$ için $0<\delta\leq -\frac1{\ln\epsilon}$ seçilirse $$2-\delta<x<2\Rightarrow |e^{\frac{1}{x-2}}-0|=e^{\frac{1}{x-2}}<e^{\frac{1}{-\delta}}=e^{-\frac{1}{\delta}}\leq e^{-\frac{1}{-\frac{1}{\ln\epsilon}}}=e^{\ln\epsilon}=\epsilon$$ koşulu sağlanır. O halde $$\lim\limits_{x\to 2^-}e^{\frac1{x-2}}=0$$ olur.

 

Tanım gereği her $\epsilon>0$ sayısı için öyle bir $\delta>0$ sayısı bulmalıyız ki   $$2-\delta<x<2\Rightarrow |e^{\frac{1}{x-2}}-0|<\epsilon$$ koşulu sağlansın. Yukarıda yapılanlara baktığımızda biz sadece $0<\epsilon<1$ için bir $\delta>0$ sayısının bulunabileceğini kanıtlamış olduk (ki bu da aslında yeterli. Neden?). Şimdi $\epsilon\geq 1$ için $\delta>0$ sayısının nasıl seçilmesi gerektiği hususu üzerinde biraz kafa yormanı tavsiye ederim.