TAM METRİK UZAYDA BİR PERFECT KÜMENİN HER ELEMANI CONDENSATION NOKTADIR

Question

Sorumu sormadan önce bir tanım vermek istiyorum

Tanım : $(X,\tau)$ bir topolojik uzay ve $A\subset X$olsun. Eğer $A$ kapalı ve bütün elemanları yığılma noktası ise bu kümeye perfect bir küme denir.

Tanım : Eğer bir topolojik uzayda bir $x$ noktasının bütün açık komşulukları sayılamaz ise, o noktaya bu uzayın bir condensation(yoğunlaşma) noktası denir.

Teorem : Tam metrik Uzayda bir perfect kümenin bütün noktaları yoğunlaşma noktasıdır.

Kanıt :

$(X,d)$ bir tam metrik uzay ve  $A$ kümesi perfect bir altküme olsun, $x \in A$ alalım, o halde her $r>0$ için $(B_{d}(x,r)\setminus\{x\}) \cap A$ boştan farklıdır.

iddia : her $r>0$ için $B_{d}(x,r) \cap A$ sayılamazdır.

Çünkü eğer bir $r>0$ için $B_{d}(x,r) \cap A$ sayılabilir olsaydı, $D(x,\frac{r}{2})=\{y\in X : d(x,y)\leq \frac{r}{2}\} \subset B_{d}(x,r)$ kapalı yuvarı için $D(x,\frac{r}{2}) \cap A$ sayılabilir olurdu. $D(x,\frac{r}{2}) \cap A$ iki kapalı kümenin arakesiti olarak kapalı olduğundan ve $(X,d)$ tam olduğundan $D(x,\frac{r}{2}) \cap A$ tamdır. Dolayısıyla bir $x_{0}\in D(x,\frac{r}{2}) \cap A$ olacak şekilde bir izole noktası olmalıdır, aksi takdirde tam metrik olduğundan Baire olması ile çelişirdi.

Devamında $x_{0}$ aynı zamanda $A$'nın da bir izole noktası olur mu? ya da buradan nasıl bir çelişkiye varılabilir? teşekkürler