Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
387 kez görüntülendi
Sorumu sormadan önce bir tanım vermek istiyorum

Tanım : (X,τ) bir topolojik uzay ve AXolsun. Eğer A kapalı ve bütün elemanları yığılma noktası ise bu kümeye perfect bir küme denir.

Tanım : Eğer bir topolojik uzayda bir x noktasının bütün açık komşulukları sayılamaz ise, o noktaya bu uzayın bir condensation(yoğunlaşma) noktası denir.

Teorem : Tam metrik Uzayda bir perfect kümenin bütün noktaları yoğunlaşma noktasıdır.

Kanıt :

(X,d) bir tam metrik uzay ve  A kümesi perfect bir altküme olsun, xA alalım, o halde her r>0 için (Bd(x,r){x})A boştan farklıdır.

iddia : her r>0 için Bd(x,r)A sayılamazdır.

Çünkü eğer bir r>0 için Bd(x,r)A sayılabilir olsaydı, D(x,r2)={yX:d(x,y)r2}Bd(x,r) kapalı yuvarı için D(x,r2)A sayılabilir olurdu. D(x,r2)A iki kapalı kümenin arakesiti olarak kapalı olduğundan ve (X,d) tam olduğundan D(x,r2)A tamdır. Dolayısıyla bir x0D(x,r2)A olacak şekilde bir izole noktası olmalıdır, aksi takdirde tam metrik olduğundan Baire olması ile çelişirdi.

Devamında x0 aynı zamanda A'nın da bir izole noktası olur mu? ya da buradan nasıl bir çelişkiye varılabilir? teşekkürler
Akademik Matematik kategorisinde (13 puan) tarafından  | 387 kez görüntülendi
20,332 soru
21,889 cevap
73,623 yorum
3,043,615 kullanıcı