Sorumu sormadan önce bir tanım vermek istiyorum
Tanım : (X,τ) bir topolojik uzay ve A⊂Xolsun. Eğer A kapalı ve bütün elemanları yığılma noktası ise bu kümeye perfect bir küme denir.
Tanım : Eğer bir topolojik uzayda bir x noktasının bütün açık komşulukları sayılamaz ise, o noktaya bu uzayın bir condensation(yoğunlaşma) noktası denir.
Teorem : Tam metrik Uzayda bir perfect kümenin bütün noktaları yoğunlaşma noktasıdır.
Kanıt :
(X,d) bir tam metrik uzay ve A kümesi perfect bir altküme olsun, x∈A alalım, o halde her r>0 için (Bd(x,r)∖{x})∩A boştan farklıdır.
iddia : her r>0 için Bd(x,r)∩A sayılamazdır.
Çünkü eğer bir r>0 için Bd(x,r)∩A sayılabilir olsaydı, D(x,r2)={y∈X:d(x,y)≤r2}⊂Bd(x,r) kapalı yuvarı için D(x,r2)∩A sayılabilir olurdu. D(x,r2)∩A iki kapalı kümenin arakesiti olarak kapalı olduğundan ve (X,d) tam olduğundan D(x,r2)∩A tamdır. Dolayısıyla bir x0∈D(x,r2)∩A olacak şekilde bir izole noktası olmalıdır, aksi takdirde tam metrik olduğundan Baire olması ile çelişirdi.
Devamında x0 aynı zamanda A'nın da bir izole noktası olur mu? ya da buradan nasıl bir çelişkiye varılabilir? teşekkürler