Question

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}0 & , & x\in [0,1) \\  1 & , & x=1\end{array}\right.$

kuralı ile verilen $f:[0,1] \to \mathbb{R}$  fonksiyonun Riemann anlamında integrallenebilir olduğunu gösteriniz.

Comments

Limitin alttan ve üstten aynı olduğunu göstermek gerek galiba. Alttan bariz, üstten limit için sadece sondaki kutucuk sıfırdan farklı alana sahip olacak ama sıfıra yaklaşacak. Fazla sezgisel yazdım ama matematiksel dile çevrilebilir.

---

Teoman, parçalanış kümesini dediğin yolla belirleyince limit ya da infimum olarak sıfır olacak.

---

0 ile 1 arasında herhangi bir partition alındığında bunların supremumu ne olur?

Answer 1

Adım adım gidelim.

Tanım-1: $a,b\in\mathbb{R},$  $a<b$  ve  $a=x_0<x_1<x_2<\ldots <x_{n-1}<x_n=b$ olmak üzere

$$P:=\{a=x_0,x_1,x_2,\ldots ,x_{n-1},x_n=b\}$$ kümesine, $[a,b]$ aralığının bir bölüntüsü denir.

Bir $[a,b]$ kapalı aralığının tüm bölüntülerinin oluşturduğu aileyi

$$\mathcal{P}_{[a,b]}:=\{P|P, [a,b]\text{'nin bölüntüsü}\}$$ ile gösterelim.

Tanım-2: $a,b\in\mathbb{R},$  $a<b,$  $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ sınırlı bir fonksiyon ve $P\in \mathcal{P}_{[a,b]}$ olsun.

$$L(f;P):=\sum_{i=0}^n\inf\{f(x)|x_{i-1}\leq x\leq x_i\} \cdot (x_i-x_{i-1})$$ sayısına $f$ fonksiyonunun $P$ bölüntüsüne göre alt toplamı; benzer şekilde 

$$U(f;P):=\sum_{i=0}^n\sup \{f(x)|x_{i-1}\leq x\leq x_i\} \cdot (x_i-x_{i-1})$$ sayısına da $f$ fonksiyonunun $P$ bölüntüsüne göre üst toplamı denir.

Tanım-3: $a,b\in\mathbb{R},$  $a<b$  ve  $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ sınırlı bir fonksiyon olsun. Eğer her $P$ bölüntüsüne karşı elde edilen alt toplamların oluşturduğu kümenin supremumu (bu supremumun varlığını garanti etmelisin (Ödev)), üst toplamların oluşturduğu kümenin infimumuna (bu infimumun varlığını garanti etmelisin (Ödev)) eşitse yani

$$L(f):=\sup \{L(f;P)|P\in\mathcal{P}_{[a,b]}\}$$ ve $$U(f):=\inf \{U(f;P)|P\in\mathcal{P}_{[a,b]}\}$$ olmak üzere

$$L(f)=U(f)$$

ise o zaman $f$ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında Riemann anlamında integrallenebilir denir ve  $$\int_a^b f$$ veya  $$\int_a^bf(x)dx$$ ile gösterilir.

 

Bu soruda hangi $P$ bölüntüsünü alırsan al $$L(f;P)=\ldots$$ çıkacağını görmüşsündür veya görmen zor değil ($\ldots$ kısmını sen doldur). Şimdi farklı birkaç $P$ bölüntüsü alarak $U(f;P)$ üst toplamının hangi aralığı taradığını bulmaya çalış. $3$-$5$ tane farklı bölüntü için üst toplamı hesapladığında değişik $P$ bölüntülerine karşılık elde edeceğin üst toplamların hangi aralıkta değişeceğini tahmin edebilirsin. Bunu bulduktan sonra zaten son bir adım kalıyor. O da 

$$\sup \{L(f;P)|P\in\mathcal{P}_{[a,b]}\}=\inf \{U(f;P)|P\in\mathcal{P}_{[a,b]}\}$$ eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığı.