Question

p asal, $\mathbb{Z}_p$ X $\mathbb{Z}_p$ nin mertebesi p olan altgrup sayısını nasıl bulurum? Mertebesi p ise devirli gruptur şeklinde başladım fakat nasıl ilerlemeliyim

Comments

mertebesi p olan eleman sayısını mı bulmak istiyosun

---

belki yanlış soru olmuştur diye bunu yazdım

Answer 1

Her altgrubun eleman sayısı grubun eleman sayısını böleceğinden altgruplar $1, p, p^2$ elemanlı olabilir. $1$ ve $p^2$ elemanlı birer (aşikar) altgrup var. $p$ elemanlı altgrup sayısını şöyle hesaplayabiliriz: $(0,0)$ grupta olmak zorunda, bunun haricinde $p-1$ eleman olacak. Şimdi etkisiz eleman dışında kalan noktalardan birini üreteç olarak seçebiliriz. (Burada $p$ elemanlı bir grubun devirli olduğunu kullandık.) $p^2-1$ eleman kaldı ama bunlardan bazıları aynı grubu veriyor, her grupta $p$ eleman olacağını göz önünde bulundurup $p-1$'e bölersek $p+1$ grup elde edebileceğimizi görürüz.

Comments

p-1'e neden böldük