Euler sayıları şu şekilde tanımlanır:
\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!}x^{2n}=\dfrac{1}{\cos x}
\end{align}
Bu seriyi de $\sin x$ ile çarparsak (Cauchy seri çarpımı yapıyoruz.)
\begin{align}
\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}=\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k E_{2k}}{(2k)!}x^{2k} \cdot \sum_{i=0}^\infty \dfrac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{2i+1}
\end{align}
Buradan:
\begin{align}
\sum_{i=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^i \dfrac{(-1)^k E_{2k}}{(2k)!}x^{2k} \cdot\dfrac{(-1)^{i-k}}{(2i-2k+1)!}x^{2i-2k+1}\right)
\end{align}
Ve eğer düzenlersek:
\begin{align}
\sum_{i=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^i \dfrac{E_{2k}}{(2k)!(2(i-k)+1)!}\right)x^{2i+1}(-1)^i
\end{align}
\begin{align}
\sum_{0\leq k\leq 2i}^\infty \dfrac{(x^{2i+1}(-1)^i)E_{2k}}{(2k)!(2(i-k)+1)!}
\end{align}
\begin{align}
\sum_{0\leq k\leq 2i}^\infty {2i+1 \choose 2k}\dfrac{(x^{2i+1}(-1)^i)E_{2k}}{(2i+1)!}
\end{align}
Burada amacım Bernoulli sayılarını kullanmadan daha kolay bir şekilde tanjantı hesaplamaktı. Bunu daha önce bir yerde göremedim, eğer bilen herhangi biri varsa düzeltebilir. Teşekkür ederim.