Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
410 kez görüntülendi
Euler sayıları şu şekilde tanımlanır:

\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!}x^{2n}=\dfrac{1}{\cos x}
\end{align}

Bu seriyi de $\sin x$ ile çarparsak (Cauchy seri çarpımı yapıyoruz.)

\begin{align}
\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}=\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^k E_{2k}}{(2k)!}x^{2k} \cdot \sum_{i=0}^\infty \dfrac{(-1)^i}{(2i+1)!}x^{2i+1}
\end{align}

Buradan:

\begin{align}
\sum_{i=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^i \dfrac{(-1)^k E_{2k}}{(2k)!}x^{2k} \cdot\dfrac{(-1)^{i-k}}{(2i-2k+1)!}x^{2i-2k+1}\right)
\end{align}

Ve eğer düzenlersek:

\begin{align}
\sum_{i=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^i  \dfrac{E_{2k}}{(2k)!(2(i-k)+1)!}\right)x^{2i+1}(-1)^i
\end{align}

\begin{align}
\sum_{0\leq k\leq 2i}^\infty  \dfrac{(x^{2i+1}(-1)^i)E_{2k}}{(2k)!(2(i-k)+1)!}
\end{align}

 

\begin{align}
\sum_{0\leq k\leq 2i}^\infty  {2i+1 \choose 2k}\dfrac{(x^{2i+1}(-1)^i)E_{2k}}{(2i+1)!}
\end{align}

 

Burada amacım Bernoulli sayılarını kullanmadan daha kolay bir şekilde tanjantı hesaplamaktı. Bunu daha önce bir yerde göremedim, eğer bilen herhangi biri varsa düzeltebilir. Teşekkür ederim.
Lisans Matematik kategorisinde (129 puan) tarafından  | 410 kez görüntülendi
20,320 soru
21,881 cevap
73,600 yorum
2,932,604 kullanıcı