Metrik uzaylarda agirlik merkezi

Question

$(M,d)$ bir metrik uzay olsun. $x_1, x_2,\cdots, x_n$ bu uzayda noktalar olsun. $\psi$ diye bir fonksiyon tanimlayalim.

$\psi(p) = \sum\limits_{i=1}^nd^2(p,x_i)$

Karcher ortalamasi $m$, $psi$ fonksiyonunu minimize eden $p$ seklinde tanimlaniyor.

$m = \arg\min\limits_{p\in M}\psi(p)$

Asagidaki metrik uzaylar icin Karcher ortalamasinin formulunu bulabilir misiniz?

1. $M =\mathbb{R}$ , $d(x,y) = |x - y|$
2. $M =\mathbb{R}^+$ , $d(x,y) = |\log x - \log y|$

3. $M =\mathbb{R}^+$ , $d(x,y) = |\frac{1} {x} - \frac{1} {y}|$

    

Comments

Negatif sayılarda ikinci, 0'da son metrik uzaylar sorun yaşıyor sanırım.

---

evet son iki ornek de $\mathbb{R}^+$ de olmali

---

Böyle bir nokta,

1. Var olmayabilir ("tam metrik uzay " koşulu eklense yeterli olur mu?)

2. Tek olmayabilir

---

Sanirim metrik uzayin tam olmasi gerekiyor var olmasi icin. Bazi riemmanyen manifoldlarda tekliginin garantisi de var. Sanirim tek oldugu zaman Frechet ortalamasi da deniyor

---

aslinda tek olmamasi guzel bile olabilir. Eger sezgim dogru ise kurenin antipodlarinin kure uzerindeki "ortalamasi" kurenin ekvatoru olacak.