$f(8x-1)=3f(x)+2$ eşitliğini sağlayan, tersi de var olan, türevlenebilen bir fonksiyon var mıdır?

Question

İlgili sorudaki gibi,

$(f\circ g)(x)=3x+2$ ve $(g\circ f)(x)=8x-1$

olacak şekilde, türevlenebilen fonksiyonlar bulabilir miyiz?

Comments

Evet var. Mathematica cozuyor. Yineleme(Rekursif) denklemleri ile cozebilir ama 8 katsayisi isi bozuyor. Daha once boyle bir denklem gormedim.

---

Dün cevap yazacaktım buna ama soru sahibi çok aceleci davranmış :)

---

Puanları kaptırmak istemedim :-)

EK: hafta sonu eve hapsedilmiş olmaktan da olabilir.

Answer 1

$f(x)=c\left(x-\frac17\right)^{\log_83}-1$ olsun.

($c\neq0$ ise ) $f,\ (\frac17,+\infty)$ aralığında 1-1 ve türevlenebilen bir fonksiyondur.

$\begin{align*}f(8x-1)&=\textstyle c\left(8x-1-\frac17\right)^{\log_83}-1=c\left(8x-\frac87\right)^{\log_83}-1\\&=\textstyle c\left(8(x-\frac17)\right)^{\log_83}-1= c\, 8^{\log_83}\left(x-\frac17\right)^{\log_83}-1\\&=\textstyle3\,c\ \left(x-\frac17\right)^{\log_83}-1=3\,\left(c\ \left(x-\frac17\right)^{\log_83}-1\right)+2\\&=3f(x)+2\end{align*}$

Daha sonra $g$ de kolayca bulunur.

Comments

Aslında adım adım inşası da güzel. Muhtemelen cevaba bakan kişi fikren nasıl bulunacağını da anlar.

---

Bir ara adım adım bu cevabı nasıl bulduğumu da yazmayı düşünüyorum. Dileyen (Sercan?) yazabilir.

---

Bir ara yazacağım.