$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{x}$ limiti hakkında ne söyleyebiliriz?

Question

x sıfıra giderken kök x in limiti hakkında ne söyleyebiliriz?

Soldan limit için 0 noktası tanım kümesinin yığılma noktası oluyor mu?

Comments

Yığılma noktası tanımını yazabilir misiniz?

Nerede sorun görüyorsunuz?

---

eğer doğru ise 0'ın bu fonksiyonun tanım kümesi için yığılma noktası oldugunu gösterebiliyorum ancak limit yoktur değil de 'limiti hesaplanamaz' denmesini anlayamıyorum...

---

Her pozitif epsilon için 0 noktasını merkez kabul eden açık yuvardan merkezini atar ve elde ettiğimiz delik yuvar ile sıfırdan kapalı sonsuz yarı açık aralığını kesişimi ile (0,epsilon) ifadesini her pozitif epsilon oldugundan tek noktalı sıfır kümesini elde ediyoruz. O halde 0 noktası tk. için yığılma noktası oluyor. Ancak limitin saağdan hesabında sorun çıkmazken soldan hesabında x noktaları 0 a yaklaşırken herhangi bir noktaya yaklasacak f(x)ler bulamıyorz. Kafam cok karıştı....

---

Bir de limit tanımın yazabilir misin?

(cevabım için buna gerek var)

---

f(x) fonksiyonunun x giderken sıfıra limiti vardır ve bir L değerine eşittir ancak ve ancak tüm pozitif epsilonlar için en az bir pozitif delta reel sayısı vardır öyleki |f(x)-L|<epsilon iken  0<|x-0|< delta şartı sağlanır.

---

Sanırım 0 ın delik civarına düşen x'lerin (-delda) parçası için (L-epsilon,L+epsilon) aralığına düşen f(x)ler bulamıyoruz. Bu nedenle f(x) fonksiyonunun limiti hesaplanamaz mı diyoruz?

---

Tanımdaki "A iken B olur" kısmında A ile B nin yeri ters olmuş.

Ama asıl önemli olan kısım, orada

"$0<|x-0|<\delta$ İKEN $|fx)-L|<\varepsilon$ olacak şeklilde bir $\delta$ sayısının var olması" isteniyor.

$-\delta<x<0$ şeklinde bir $x$ sayısının var olması gerekliliği var mı o tanımda?

Aslında, o tanımın, daha uzun, ama daha düzgün olarak

"$0<|x-a|<\delta$ ve  $\mathbf{x},\ \mathbf{f}$ nin tanım kümesinde İKEN $|fx)-L|<\varepsilon$ olacak şeklilde bir $\delta$ sayısının var olması"

şeklinde yazılması daha iyi olur.

Kalın yazdığım kısım yazılmadığında, bazan ,  "$0<|x-a|<\delta$ iken $f(x)$ in tanımlı olması gerekir" gibi bir yanlış anlama olabiliyor.

Sanırım bu soruda böyle bir yanlış anlama olmuş

---

Çok teşekkür ederim hocam. Hatamı anladım.:)

---

"ve  $x, \ f$ nin tanım kümesinde"

yazmaya gerek duymamanın esas nedeni,

$x,\ f$ nin tanım kümesinde değilse, zaten (daha sonraki eşitsizlikteki) $f(x)$ in tanımlı olmamasıdır.

Answer 1

Teorem: $A\subseteq\mathbb{R}, \,\ f\in \mathbb{R}^A, \,\ a\in D(A\cap (-\infty,a))\cap D(A\cap (a,\infty))$  ve  $L\in\mathbb{R}$  olmak üzere

$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=L.$$

Bu teoremin kanıtı burada mevcut. $A\subseteq\mathbb{R}$  ve  $a\in A$ olmak üzere $a$ gerçel sayısının $A$ kümesinin yığılma noktası, soldan yığılma noktası ve sağdan yığılma noktası olması şöyle tanımlanır: 

$$a, A\text{'nın yığılma noktası}:\Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)((x-\epsilon,x+\epsilon)\cap (A\setminus\{x\})\neq \emptyset),$$

$$D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\},$$

$$a, A\text{'nın soldan yığılma noktası}:\Leftrightarrow a\in D(A\cap (-\infty,a)),$$

$$a, A\text{'nın sağdan yığılma noktası}:\Leftrightarrow a\in D(A\cap (a,\infty)).$$

 

Bu soruda $$f(x)=\sqrt{x}$$ kuralı ile verilen $f$ fonksiyonunun tanım kümesi $$A=[0,\infty)$$ kümesidir. Dolayısıyla $$0\in D(A)=D([0,\infty))=[0,\infty)$$ ve

$$0\in D(A\cap (0,\infty))=D([0,\infty)\cap (0,\infty))=D((0,\infty))=[0,\infty)$$ olduğundan $0,$ $A$ kümesinin hem yığılma noktası hem de sağdan yığılma noktasıdır. Fakat  $$0\notin D(A\cap (-\infty,0))=D((0,\infty)\cap (-\infty,0))=D(\emptyset)=\emptyset$$ olduğundan $0,$ $A$ kümesinin soldan yığılma noktası DEĞİLDİR. $0,$ $A$ kümesinin soldan yığılma noktası olmadığı için soldan limitten BAHSEDEMEYİZ. Dolayısıyla $$\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}\sqrt{x}$$ olacaktır.

$$\lim\limits_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0$$ olduğunu göstermek de zor olmasa gerek. Onu sana bırakıyorum.