$n\in\mathbb{Z}^+,\;(xy)^n=x^ny^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}}$

Question

$n\in\mathbb{Z}^+$,$x,\,y\in G$ commute with $[x,y]$; $(xy)^n=x^ny^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}}$ olduğunu gösterin. ($[.]$ anlamı kamütatör)

Comments

Üzerinde oynadım ama işin içinden çıkamadım. Tümevarım denemeye çalıştım ama bir yere kadar gelebiliyorum.

$n=1$ için sağlıyor $n+1$ için gösteremedim

---

Her zaman doğru olmama olasılığı var mı? Mesela yüzüp yüzüp kuyruğuna geldiğin yerdeki engel nedir?

---

Sanirim bu her zaman dogru degil. Soyle bir karsi ornek buldum (gercekten karsi ornek mi emin degilim)

$x = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$y = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$xy = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$[y,x] = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$(xy)^4 = \begin{pmatrix} 34 & 21\\ 21 & 13 \end{pmatrix}$

$(y^4)^T = x^4 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$[y,x]^6 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

hepsini birlestirince bir karsi ornek oluyor sanirim.

komutator $XY-YX$ olarak seyettim

---

@eloi Grup teoride komutator $[x,y] = x^{-1}y^{-1}xy$ olarak şey ediliyor hatırladığım kadarıyla.

@sametoytun ben olsam $n =2,3$ durumlarına bakıp soruyu daha iyi anlamaya çalışırım, soruyu çözmeye çalışmaktan önce.

$n = 2$ için:

$$xyxy = x^2 y^2 x^{-1}y^{-1}xy  \iff xyx = x^2y^2 x^{-1}y^{-1} x$$

oluyor mesela. Burada yapılanı birkaç adım ilerletirsen istenilen ifadeye ulaşıyorsun. Bunu $n=2$ için tamamlayıp $n=3$ için yapmayı dene?

---

Bu arada işe yaramayabilir $n=3$ için, denemedim, ama en azından soruyla biraz daha haşır neşir olmuş olursun.

---

@ozgur komutator gorunce hemen matristir gibi atladim. halkalardaki komutator tanimi neden gruptakine benzemiyor acaba ?

---

Sorduğum soru doğru ama eksikmiş düzenlerim birazdan.

Burada sorulmuş

---

 Bu kısma kadar yazılan her şeyi anladım ama burada $k$'li kısmı nasıl yazdı ?

---

Verdiğin sav doğru değildi. Yoksa her "p ise q" için "(p veya q) ise q" düzeltmesi yapabiliriz.

---

Tümevarımla da yapabilirsin. $x$ ile $y^n$ yer değiştirmeli. Bunun için de n kere komutator uygulanmalı. Bu kısım için de yine bir tüme varım yapılabilir.

Answer 1

: $(xy)^n=x^ny^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}}$

$n=0$ için doğru olduğu belli.

$n+1$ için elimizde $(xy)^{n+1}=xy(xy)^n=xyx^ny^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}}=  {xxy\color{red}{[y,x]}}x^{n-1}y^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}}$

ve biliyoruz ki $x$ ve $y$ komütatörlerle yer değiştirebiliyorlar. O halde

$=x^2yx^{n-1}y^n[y,\,x]^{\frac{n(n-1)}{2}+1}.$

Comments

Sonuç tümevarım ile eşleşmiyor sanki?