Limit tanımı hakkında

Question

$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{n^{3}+1}{n^{4}+4}=0$ Olduğunu kanıtlayanız. Buradaki sorumu çözdüğüm şekliyle soracağım.

$\dfrac{n^{3}+1}{n^{4}+4} <\dfrac{n^{3}+1}{n^{4}} <\dfrac{n^{3}+n^{2}}{n^{4}} <\dfrac{n+1}{n^2}<\dfrac{\left| n\right| +\left| n\right| }{|n|^{2}}=2\cdot \left| \dfrac{n}{n^{2}}\right|$ Sonrası da bildiğimiz gibi ama eşitsizliğin 5. kısmındaki hamleyi yapmama engel olan herhangi bir durum söz konusu mu? Ya da başka nasıl çözülebilir.(Tanımı baştan alarak yazmadım, $\varepsilon$'dan küçük hale getirdiğimiz kısma kadar yazdım.)

Comments

$n=1$ iken ilki hariç hepsi eşit olmuyor mu?

---

Evet hocam, öyle oluyor. Ama devamını nasıl getirebilirim?

---

$\frac2n\leq \frac2K\leq\epsilon$ gerisi kolay

(Buradaki $K$, tanımdaki, "her $n\geq K$ için "  kısmındaki $K$ )

Ek $\frac1K$ yı $\frac2K$ olarak düzelttim.

Answer 1

@DoganDonmez hocamın katkılarıyla, teşekkürler hocam.

$\forall \varepsilon>0$, $\exists K(\varepsilon)=\left[ \dfrac{2}{n}\right] +1$ $:$ $\forall n>K$ $:$ $\left |\dfrac{n^3+1}{n^4+4}-0\right|<\varepsilon$

$\left |\dfrac{n^3+1}{n^4+4}-0\right|<\left |\dfrac{n^3+1}{n^4}\right|<\left |\dfrac{n^3+n^3}{n^4}\right|=\dfrac{2}{n}<\varepsilon$

O halde:

$\dfrac{2}{\varepsilon}<n$, Bu da, $\forall n>N$ için, $\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{K}=\dfrac{1}{\left[ \dfrac{2}{\varepsilon}\right] +1}<\dfrac{1}{\dfrac{2}{\varepsilon }}$

Bu da: $\dfrac{1}{n}<\dfrac{\varepsilon}{2}$ sağlanır.

Comments

Arda Kılıç, yine (bir yerde, bazı $n$ ler için) eşit olduğu halde $<$ yazmışsın.

---

Bazı kısımları tekrarlamamak ve kolay anlaşılabilirlik için yukarıdaki çözüm şöyle yazılabilir:
(Bir $\varepsilon>0$ sayısı verildiğinde)
Her $n>K(\varepsilon)$ için $\left|\frac{n^3+1}{n^4+4}-0\right|=\frac{n^3+1}{n^4+4}<\frac{n^3+1}{n^4}\leq\frac{n^3+n^3}{n^4}=\frac2n<\frac2{K(\varepsilon)}\leq\varepsilon$

olacak şekilde bir $K(\varepsilon)\in\mathbb{N}^+$ bulmak yeterlidir.

$K(\varepsilon)=\left\lfloor\frac2\varepsilon\right\rfloor+1$ alınırsa istenen koşulların sağlandığı yukarıda gösterilmiştir.