Question

$X$ herhangi bir küme ve $\tau=\left\{A\big{|}|\setminus A|\leq\aleph_0\right\}\cup\{\emptyset\}$ olmak üzere $$|X|\leq\aleph_0\Rightarrow\tau=2^X$$ olduğunu gösteriniz.

 

NOT: X ' in sayılabilir olduğunu unutmayalım.

Comments

$\tau=2^X\implies |X|\leq\aleph_0$ de olur mu acaba?

---

Olmadığını düşünüyorum.

---

$X$ sonlu ise $|X|\leq\aleph_0$ olur.

$X$ sonsuz ise bir $x_1\in X$ alalım.

$U=\{x_1\}$ olsun, $\emptyset\neq U\in \tau$ ve $\backslash U=X\setminus\{x_1\}$ olur.

Öyleyse ($\tau$ nun tanımından) $|X\setminus\{x_1\}|\leq\aleph_0$ olmalıdır.

Buradan da, $|X|\leq\aleph_0$ (dolayısıyla, $|X|=\aleph_0$) elde edilir.

---

Teşekkürler hocam.