(X,τ) topolojik uzay ve A⊆X olmak üzere
A∈C(X,τ)={A|(A⊆X)(A,τ-kapalı)}⇔D(A)⊆A
karakterizasyonundan faydalanarak kanıtı şöyle yapabiliriz:
D(A) türev kümesinin kapalı olduğunu göstermek -üstteki teorem gereğince- ‘‘D(D(A))⊆D(A)" olduğu göstermek yeterlidir.
x∈D(D(A)) olsun.
x∈D(D(A))⇒(∀U∈U(x))((U∖{x})∩D(A)≠∅)
⇒(∀U∈U(x))(∃y∈X)(y∈(U∖{x})∩D(A))
⇒(∀U∈U(x))(∃y∈X)(y∈(U∖{x})(y∈D(A))(X,τ), T1 uzayı}⇒
⇒(∀U∈U(x))(U∖{x}∈U(y))(y∈D(A))
⇒(∀U∈U(x))((U∖{x,y})∩A≠∅)
⇒(∀U∈U(x))((U∖{x})∩A≠∅)
⇒x∈D(A).