f, [0,a] aralığında sürekli, kesin azalan ve f(0)=b, f(a)=0 şeklinde bir fonksiyon olsun.
f−1, [0,b] aralığında sürekli, kesin azalan bir fonksiyon ve f−1(0)=a, f−1(b)=0 olur.
P={x0=0,x1,…,xn=a}, [0,a] aralığının bir parçalanışı olsun.
yi=f(xn−i) (0≤i≤n) olsun.
P′={y0=0,y1,…,yn=b}, [0,b] nin bir parçalanışı olur ve P↔P′, [0,a] ile [0,b] nin parçalanışları arasında 1-1 bir eşlemedir.
( f azalan olduğu için)
U(f,P)=∑ni=1MiΔxi=∑ni=1f(xi−1)(xi−xi−1) dir.
U(f,P)n∑i=1f(xi−1)(xi−xi−1)=n∑i=1yn−i+1(f−1(yn−i)−f−1(yn−i+1))=yn(f−1(yn−1)−f−1(yn))+yn−1(f−1(yn−2)−f−1(yn−1))+⋯+y1(f−1(y0)−f−1(y1))(f−1(yn)=x0=0 ve y0=0 olduğu için )=ynf−1(yn−1)+yn−1(f−1(yn−2)−f−1(yn−1))+⋯+y1(f−1(y0)−f−1(y1))−y0f−1(y0)=n∑i=1f−1(yi−1)(yi−yi−1)=U(f−1,P′)olur. Bu da
{U(f,P):P, [0,a] nın bir parçalanışı}={U(f−1,P′):P′, [0,b] nın bir parçalanışı}
olması demektir. f, [0,a] aralığında ve f−1, [0,b] aralığında integrallenebilen fonksiyonlar olduğu için:
∫a0f(x)dx=U(f)=inf{U(f,P):P, [0,a] nın bir parçalanışı}
ve
∫b0f−1(x)dx=U(f−1)=inf{U(f−1,P′):P′, [0,b] nın bir parçalanışı}
olduğu için:
∫a0f(x)dx=∫b0f−1(x)dx olduğu gösterilmiş olur.
-------------------------------------------------
Şimdi bunu biraz genelleştirelim:
f, [a,b] aralığında sürekli ve kesin azalan bir fonksiyon f(a)=d,f(b)=c olsun.
O zaman
g(x)=f(x+a)−c fonksiyonu [0,b−a] aralığında sürekli ve kesin azalandır ve g(b−a)=0,g(0)=d−c olur.
g−1(x)=f−1(x+c)−a olur. Yukarıda gösterilen eşitliği ve bazı başka basit eşitlikleri kullanarak:
∫baf(x)dx=∫b−a0f(x+a)dx=∫b−a0(g(x)+c)dx=∫b−a0g(x)dx+c(b−a)=∫d−c0g−1(x)dx+c(b−a)=∫d−c0(f−1(x+c)−a)dx+c(b−a)=∫dcf−1(x)dx−a(d−c)+c(b−a)=∫dcf−1(x)dx+cb−ad
elde ederiz.
Buradan da (f,[a,b] aralığında sürekli, kesin azalan ve f(a)=d,f(b)=c ise)
∫dcf−1(x)dx=xf(x)|ba+∫baf(x)dx
elde edilir.