Her p-grup aynı zamanda nilpotent gruptur. (p-asal sayı)

Question

Tümevarımla ispat etmeyi tercih ettim.

G bir grup ve $\left| G\right| =p^{\alpha }$ olsun. Varsayım : G nin mertebesinden düşük her p-grup nilpotent grup olsun.

$Z(G)$nin trivial olmadığını biliyoruz.$Z\left( G\right) \leq G$ , o halde $Z(G)$ , varsayımdan nilpotent grup olur.

$G/Z(G)$ de varsayımdan , nilpotent grup olur.

* $Z(G)$,$G/Z(G)$ nilpotent grupsa $G$ de nilpotent gruptur dedim.

* şıkkını şuna dayanarak söyledim , $G/Z\left( G\right)$ nilpotent grupsa , G de nilpotent gruptur

yada genelleştirilmiş hali , $G$ bir grup. Eğer $N\leq Z\left( G\right)$ ve $G/N$ nilpotentse, o halde G  nilpotent gruptur.

* kısmını başka bir teorem kullanarak söyleyebilir miyim  ? Yada başka yol

Comments

1. Tümevarım kullanacağın için $\alpha=0$ iken doğruluğunu göstermelisin (Kolay)

2. $Z(G)$ nin $G$ nin normal altgrubu olduğunu belirtmelisin (göstermesi kolay).

3. $Z(G)$ nin nilpotent olduğunu belirtmelisin (göstermesi kolay). (Burada tümevarım hipotezi yeterli olmaz çünkü $Z(G)=G$ olabilir)

---

merkez abel olduğundan direk nilpotent diyebiliriz.