Question

$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ devirli grup mudur ?

şimdi şöyle düşündüm $\mathbb{Z}$ yi üreten 1 ve -1 dir.Acaba bu ikisi grubu üretebilir mi diye düşündüm.

(1,1) + (1,1) =(2,2) , (1,1)leri toplayarak (1,2) yi üretemem.

Aynı keza (1,0) üreteç olabilir mi diye düşündüğümde.Yine olmuyor tüm $\mathbb{Z}$ üretilmiyor.

$\mathbb{Z}$ devirli değildir diyorum ama ispat eksik gibi sanki.

Comments

$(a,b)$ üretec olsun. Bununla tüm elemanları üretebilmeliyiz.

Bu üreteç ile $(a+1,b)$ ve $(a,b+1)$ üretilebilir mi?

---

aklımda bir kaç şey düşündüm , cevaba onları yazmak isterim .

---

cevaba yazdıklarımı sizin verdiğiniz $(a+1,b)$ için uygularsam bu sefer $a= a+1$ oluyor buda çelişki

Answer 1

varsayalım ,a ve b sıfırdan farklı ve $(a,b)$ üreteç olsun o halde bu grubun elemanı olan $(0,b)$yi üretir.

$(0,b)= n . (a,b) = (na,nb)$

$na = 0$ ve $nb=b$ elde ediyoruz. $n =1$ ise $a = 0$  çıkıyor . Çelişki.

Grup devirli değildir.