Yığılma noktası veya Limit noktası

Question

$A=(0,1)$ olsun $x=\dfrac{1}{2}$ bir yığılma noktasıdır. Bu soruyu şöyle çözüyorum 

$\dfrac{1}{2}$ , $A=(0,1)$ in yığılma noktasıdır$:\Leftrightarrow$ $( \forall \varepsilon  > 0) \left( \left( x-\varepsilon ,x+\varepsilon \right) \cap \left( A\backslash \left\{ x\right\} \right) \right) \neq\emptyset$ ve $\varepsilon=1$ seçiyorum(neden $1$ seçtiğimi bilmiyorum) daha sonra $\left( \dfrac{1}{2}-1,\dfrac{1}{2}+1\right) \cap \left( \left( 0,1\right) \backslash \left\{ \dfrac{1}{2}\right\} \right) \neq\emptyset$ olduğundan $\dfrac{1}{2}$, $(0,1)$ in yığılma noktasıdır. Müsait olduğunuzda :

• $\varepsilon$ u neye göre seçiyoruz? 
• Verilen kümeye ait olmayan bir nokta verildiğinde nasıl davranmalıyız mesela bu soru için $x=3$ noktası verilse nasıl çözücektim?

Comments

Ben bu yüzden bu $\forall, \exists$ gibi sembolleri hiç ama hiç sevmiyorum. Ben o tanımı kelimelerle yazacağım, $\epsilon$ harfi yerine de yarıçapın $y$'sini kullanacağım.

Burada başlamadan önce $(x-y, x+y)$ aralığına $x$ merkezli ve yarıçapı $y$ olan bir aralık diyeceğim. Mesela $(1,3)$ aralığı $2$ merkezli ve $1$ yarıçaplı bir aralık olacak. Anlaştık mı?

Senin yazdığın tanıma göre $x$'in $A$ kümesinin bir yığılma noktası olması demek her $y$ pozitif sayısı için $A\setminus \{x\} \cap (x-y, x+y)$ kesişiminin boştan farklı olması demek.

Yeniden yazalım. $x$ noktasının $A$ kümesinin bir yığılma noktası olması demek $x$ merkezli ve pozitif yarıçaplı her aralığın (aralık ne kadar büyük ya da küçük olursa olsun) $A\setminus\{x\}$ kümesi ile kesişiminin boştan farklı olması demek.

Yeniden yazalım :) $x$ noktasının $A$ kümesinin bir yığılma noktası olması demek merkezi $x$ olan herhangi bir aralık aldığımızda, o aralıkta $A$'nın $x$'ten farklı bir elemanı olması demek.

Yani ben sana hangi $y$'yi (ya da $\epsilon$ ya da $\theta$ ya da $k$, harf farketmez) sayısını verirsem vereyim, sen $x$ noktasının etrafında $y$ yarıçaplı aralığa bakacaksın. O aralıkta $A$'ya ait $x$'ten farklı bir eleman var mı diye kontrol edeceksin. Her seferinde cevap evet ise, $x$ yığılma noktası olacak. Eğer benim verdiğim bir $y$ için (mesela $y= 0.67$ için) böyle bir eleman bulamıyorsa o zaman $x$ noktası yığılma noktası olmayacak.

1)Dolayısıyla $\epsilon = 1$ seçmen yığılma noktası olmasını garanti etmiyor. Gösterdiğin şeyin her $\epsilon$ pozitif sayısı için gösterilmesi lazım. Epsilonu seçemezsin.

2) $x= 3$ verseydin de aynısını yapacaksın. Istersen yorum olarak yaz denemelerini bunun altına devam edelim konuşmaya.

---

yığılma noktası = limit noktası mı?

---

Şu dakikadan sonra yeni tanımımız her $y$ pozitif sayısı için $A\setminus \{x\} \cap (x-y, x+y)$ kesişiminin boştan farklı olması demektir.(Burada $y$ yarıçap,$x$ merkezdir.)

Sorumu bu tanıma göre ifade edeyim. Bana $x=\dfrac{1}{2}$ merkezi verilmiş ve aralığım $A=(0,1)$ verilmiş.Benim amacım $x$ noktasının etrafında $y$ yarıçaplı aralığa bakmak, baktığım aralıkta $A$ kümesine ait $x$ ten farklı bir eleman varsa $x$ yığılma noktası olacak.(Peki nasıl bakacam? Verilmeyen $y$ ve verilen $y$ için)

---

Yani Ozgur hocam şunu demek istiyorum $\left( 0,1\right) \backslash \left\{ \dfrac{1}{2}\right\} \cap \left( \dfrac{1}{2}-y,\dfrac{1}{2}+y\right)$ bu ifadenin boştan farklı olduğunu nasıl görebilirim nasıl gösterbilirim?

O kadar yalın ve bi o kadar anlamlı yazı yazmışsınız ki okurken gözümde canlandı emeğinize sağlık.

---

Bana email gelmiyor artık yorumuma cevap gelince. Kusura bakmayın.

@sametoytun galiba? Unuttum ben de :)

@Çağatay60 mesela $y = 1/3$ alalım. O zaman $1/2$'nin etrafında $1/3$ yarıçaplı bir aralık almalıyız: $(1/6, 5/6)$ aralığı. Bu aralıkta $(0,1)$'e ait olan ve $1/2$'den farklı bir eleman var mı? Evet. Hem de çok fazla!

Bu elemanı çok fazla şekilde seçebilirsin ama bir algoritma/kural yaratmaya çalışayım ki bunu her $y$ için uygulayabileyim. Cevap çok basit aslında ama ben bile bile uzatıyorum.

Iki soru soracağım, ben iki cevap vereceğim. Sen farklı sorular sorup farklı cevaplar verip farklı kurallar yaratabilirsin:

Soru: Seçeceğim elemanı $1/2$'nin solunda mı yoksa sağında mı seçeyim?

Cevap: Solunda seçeyim.

Sonuç: O zaman $(1/6, 1/2)$ aralığında ve $A$'da olan bir eleman arıyorum.

Soru: Bu seçeceğim eleman $1/6$'ya mı daha yakın olsun $1/2$'ye mi?

Cevap: Ortayolcu olalım ve ikisine eşit mesafede olsun diyelim.

Sonuç: O zaman $(1/6+1/2)/2 = 1/3$ elemanını seçtim. Bu eleman istediğim kesişimde $1/2$'den farklı bir eleman.

Şimdi bu kuralda $y = 1/3$'e özel bir durum yok. Bunu her $y$ için yapabilirim. Belirlediğim kural bana $(1/2 -y, 1/2)$ aralığının orta noktasını bulmamı söylüyor. Yani $(1-y)/2$. Şimdi dikkat: Bu yöntem eğer $y$ büyük verilmişse ($y \geq 1$) bana $(0,1)$ aralığında bir eleman vermiyor. O zaman canımın istediği bir eleman seçebilirim. Ama $0< y < 1$ olduğunda bu yöntem bana istenen şekilde bir eleman verir.

Bunların resimlerini sayı doğrusu üzerinde çizmeye çalışırsan daha güzel görebilirsin.

---

Peki o zaman aynı soru üzerinden şöyle birşey yapayım:

$A=(0,1)$, $x=\dfrac{1}{2}$ bir yığılma noktasıdır.Gösterelim.

$\alpha  <x <\beta$ biçiminde reel sayılar seçilir dolayısıyla $x\in \left( \alpha ,\beta \right)$ olur. O halde $\left( \alpha ,\beta \right) \cap \left( A\backslash \left\{ \dfrac{1}{2}\right\} \right) \neq\emptyset$ olup $\dfrac{1}{2}$ $A$ nın bir yığılma noktasıdır diyebilir miyim?

---

Evet ama tabii asıl iddia $\neq \emptyset$ olduğu. Burada onu göstermedin henüz.

---

Bir türlü gösteremiyorum hemde hiç.