$\left| \int _{a}^{b}\sin \phi \left( t\right) dt\right| \leq \dfrac {4} {m}$

Question

Eğer $\phi$'nin ikinci dereceden türevi $\left[ a,b\right]$ aralığında sıfır değil ve sürekliyse 

ve eğer $\left[ a,b\right]$ aralığındaki her $t$ için $\dfrac {d\phi \left( t\right) } {dt}\geq$ $m$ eşitsizliği sıfırdan büyük sabit bir $m$ için sağlanıyorsa, integraller için olan ikinci ortalama değer teoremi kullanarak 

$\left| \int _{a}^{b}\sin \phi \left( t\right) dt\right| \leq \dfrac {4} {m}$

olduğunu ispatlayın.

Comments

ipucuda verilmiş, integrali çap ve böl $\dfrac {d\phi \left( t\right) } {dt}$ ile. teşekkürler şimdiden.

Answer 1

İntegral için ikinci ortalama değer formülü:

$h$ ve $g$ fonksiyonları $\left[ a,b\right]$ de sürekli ve $h$ monoton ise, 

$\int_{a}^{b}g\left( t\right) h\left( t\right) dt=h\left( a\right)\int_{a}^{c}g\left( t\right) dt+h\left( b\right) \int_{c}^{b}g\left(t\right) dt$                (1)

eşitliği sağlanacak biçimde $c\in \left( a,b\right)$ sayısı vardır.

Verilen problemdeki $\varphi$ fonksiyonu için $\varphi ^{^{\prime \prime }}$ nün sürekli ve sıfırdan farklı olduğu koşulundan, bu $\varphi ^{^{\prime \prime }}$ fonksiyonunun tüm $\left[ a,b\right]$ de ya pozitif ya da negatif olduğu çıkar. O halde $\varphi ^{^{\prime }}$ fonksiyonu ya kesin artandır ya da kesin azalandır (yani kesin monotondur).

Şimdi,

$\int_{a}^{b}\sin \varphi \left( t\right) dt=\int_{a}^{b}\sin \varphi \left(t\right) .\varphi ^{^{\prime }}\left( t\right) .\frac{1}{\varphi ^{^{\prime}}\left( t\right) }dt$ 

(1) i kullanırsak

$\int_{a}^{b}\sin \varphi \left( t\right) dt=\frac{1}{\varphi ^{^{\prime}}\left( a\right) }\int_{a}^{c}\sin \varphi \left( t\right) .\varphi^{^{\prime }}\left( t\right) dt+\frac{1}{\varphi ^{^{\prime }}\left(b\right) }\int_{c}^{b}\sin \varphi \left( t\right) .\varphi ^{^{\prime}}\left( t\right) dt$

$=\frac{1}{\varphi ^{^{\prime }}\left( a\right) }\left( \cos \varphi \left(a\right) -\cos \varphi \left( c\right) \right) +\frac{1}{\varphi ^{^{\prime}}\left( b\right) }\left( \cos \varphi \left( c\right) -\cos \varphi \left(b\right) \right)$

sonuncu eşitlikten,

$\left\vert \int_{a}^{b}\sin \varphi \left( t\right) dt\right\vert \leq\frac{2}{\varphi ^{^{\prime }}\left( a\right) }+\frac{2}{\varphi ^{^{\prime}}\left( b\right) }\leq \frac{2}{m}+\frac{2}{m}=\frac{4}{m}$ elde edilir.

Comments

tekrar teşekkürler, ipucu içini çarpıp bölmek olacakmış, çok yanlış anlamışım.