X={f∈C[a,b]|f″−süreklif(a)=f(b)=0} ve T:X→C[a,b] ,Tf=f″ olsun
T'nin bijektif olduğunu gösterdim
||Tf||=||f|| olup olmadığını gösteremiyorum çünkü burada tanımlanan operatör kontrol edıp egıp bukebılecegım spesıfık bır sonucu yok direkt 2. türevini aldığı için oynayıp bir şey diyemiyorum.
Ama bir şekilde ||f||=supx∈X,||x||=1||fx|| supremum normu için sınırsız oldugunu gosterdım ama yine de iki kümede de bazı fonksıyon dizileri sınırsız olabılır ama yıne de ısometrık isomorfizma olmadıgı anlamına gelmıyor
f(x)=[(x−a)(x−b)]n,n≥2
f(a)=f(b)=0
f″(x)=n[(x−a)(x−b)]n−2(2x−(a+b))[(n−1)(2x−(a+b))+2(x−a)(x−b)]f″(x)∼n2g(x)+O(n) öyle bir g(x) sınırlı g(x) ve x∈[a,b] için.
Dolayısıyla ||Tf||=||f″||→∞
peki ||Tf||=||f|| olup olmadıgını nasıl gösterebilirim.