Yay Uzunluğu ve Alan, MATYC Problem 134

Question

Lisans seviyesinde güzel bir soru, burada paylaşalım:

 

Problem (William Stretton): Şekilde $y=f(x)$ fonksiyonu artan fonksiyonu verilmiştir. $(0,1)$ noktasından $(x_1, y_1)$ noktasına olan yay uzunluğu $s$ olmak üzere taralı bölgelerin alanları eşittir. $f(x)$'i bulunuz.

Kaynak: The Two-Year College Mathematics Journal Pr.134

Comments

Halk cevap bekliyor! :)

Answer 1

Alanlar $\int_0^x(f(t)-1)\,dt$ ve $s-x=\int_0^x\sqrt{1+(f'(t))^2}\,dt-x=$ dir. Her $x$ için eşitlik var.

$\int_0^x(f(t)-1)\,dt=\int_0^x\sqrt{1+(f'(t))^2}\,dt-x$ İki tarafın $x$ e göre türevi alınırsa:

$f'(x)-1=\sqrt{1+(f'(t))^2}-1$ yani

$y'=\sqrt{y^2-1},\ y(0)=1$ Başlangıç Değer Problemi  elde edilir.

Değişkenlere ayırırsak:

$\frac{1}{\sqrt{y^2-1}}\,dy=dx$  olur.

$\cosh^{-1}y=x+C$ çözümü bulunur.

$y(0)=1$ (ve  $\cosh^{-1}(1)=0$) olduğu için $C=0$  olmalıdır.

Öyleyse $y=f(x)=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2$ olmalıdır.

Answer 2

$f(0)=1$ olduğu problemde verilmiştir. $s$ yay uzunluğu $$s(x_1)=\int_{0}^{x_1}\sqrt{1+f'(x)^2}dx$$ biçiminde $x_1$'e bağlı bir fonksiyon olduğundan bunu $$s(x)=\int_{0}^{x}\sqrt{1+f'(t)^2}dt$$ biçiminde $x$'e bağlı bir fonksiyon olarak ifade etmeyi tercih edelim. Taralı alanlar eşit olduğundan bunları $A$ ile gösterelim ve taralı olmayan dikdörtgenin alanını da $B$ ile gösterelim.

$$\text{Eğrinin Altındaki Alan} = A+B = \int_{0}^{x_1}f(x)dx = \int_{0}^{x}f(t)dt$$

$$\text{ İki Dikdörtgenin Alanları Toplamı} = A+B = s\cdot 1 = s(x)$$

olup bu ifadeleri eşitlersek $$\int_{0}^{x}f(t)dt = \int_{0}^{x}\sqrt{1+f'(t)^2}dt$$ olur. Bu eşitlikte her iki tarafın $x$'e göre türevini alırsak (Leibnitz Teoremi'nden) $f(x)=\sqrt{1+f'(x)^2}$ olur. Kare alalım ve $y=f(x)$ gösterimini kullanalım. $f$ fonksiyonu artan olduğundan $y'>0$ durumunu alırız ve $y^2 = 1+ (y')^2$ olup $y' =\sqrt{y^2 -1}$ yazılır. $$\dfrac{dy}{\sqrt{y^2 - 1}} = dx$$ değişkenlerine ayrılabilir denkleminde $y=\sec \theta$, $0<\theta < \dfrac{\pi}{2}$ değişken değiştirmesi yapılıp çözülürse $\ln \left|  \dfrac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\right| = \ln \left| \sec\theta + \tan\theta \right| = x+ c$ olur. Buradan $y(0)=1$ şartından dolayı $$\ln \left|y + \sqrt{y^2 - 1} \right| =x$$ elde edilir. $y + \sqrt{y^2 - 1} = e^x$ tir. $\left(y - \sqrt{y^2 - 1} \right) \left(y + \sqrt{y^2 - 1} \right)=1$ iki kare farkı özdeşliğinden dolayı $y - \sqrt{y^2 - 1} =e^{-x}$ olur. Buradan $$y=f(x)=\dfrac{e^x + e^{-x}}{2}=\cosh x$$ fonksiyonu bulunur.

Comments

Aynı anda çözmüşüz.

---

Evet hocam :) Elinize sağlık.