Eğri parçasının uzunluğu, yay uzunluğu fonksiyonu...

Question

$\alpha :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}$ , $\alpha \left( t\right) =\left( 3\cos t,3\sin t,t\right)$ olsun.

a) $\alpha ( 0)$ ve $\alpha ( \pi)$ noktaları arasındaki eğri parçasının uzunluğunu hesaplayınız.

b) $t_{0}=0$ alarak yay uzunluğu fonksiyonunu hesaplayınız.

c) Bu eğriyi birim hızlı olacak biçimde yeniden parametrelendiriniz.

 

 

 

Answer 1

a) $\alpha{'}\left( t\right) =\left( -3\sin t,3\cos t,1\right)$ olduğundan $$\left\| \alpha '\left( u\right) \right\| =\sqrt{\left( -3\sin u\right) ^{2}+\left( 3\cos u\right) ^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$$ olur. Buna göre $$L=\displaystyle\int ^{\pi }_{0}\left\| \alpha '\left( u\right) \right\| du=\displaystyle\int ^{\pi }_{0}\sqrt{10}du=\sqrt{10}\displaystyle\int ^{\pi }_{0}du=\sqrt{10}\pi$$ olur.

b) $$f\left( t\right) =\displaystyle\int ^{t }_{0}\left\| \alpha '\left( u\right) \right\| du=\displaystyle\int ^{t}_{0}\sqrt{10}du=\sqrt{10}\displaystyle\int ^{t}_{0}du=\sqrt{10}\pi$$ dir.

c) $f$ nin tersini $h$ ile gösterelim ve $\alpha \circ h=\beta$ diyelim. Böylece elde edilen $\beta$ eğrisinin birim hızlı olduğunu biliyoruz. $$f\left( t\right) =s\Leftrightarrow \sqrt{10}t=s\Leftrightarrow t=\dfrac{s}{\sqrt{10}}=\left(f^{-1}\right) \left( s\right)$$ olduğundan $\left( f^{-1}\right) \left( s\right) =\dfrac{s}{\sqrt{10}}$ olur. O halde $h\left( s\right) =\dfrac{s}{\sqrt{10}}$ dur. $$\beta \left( s\right) =\left( \alpha \circ h\right) \left( s\right) =\alpha \left( h\left( s\right) \right) =\alpha \left( \dfrac{s}{\sqrt{10}}\right) =\left( 3\cos \dfrac{s}{\sqrt{10}},3\sin \dfrac{s}{\sqrt{10}},\dfrac{s}{\sqrt{10}}\right)$$ dur. Sonuç olarak $\alpha$ eğrisinin, birim hızlı olacak biçimde yeniden parametrelendirilmişi $\beta$ eğrisidir.

Comments

Her eğri birim hızlı hale getirilebilir mi? Yay uzunluğu fonksiyonunda $\pi$ var mı?