üçüncü derece denklemin kökleri nasıl bulunur

Question

$x^3+4x^2-26x-21=0$ denkleminin köklerini bulunuz

Answer 1

Aslında çözüm fikri oldukça oldukça güzeldir ve bizim bugünki notasyon ile kolay anlaşılırdır. 

(Denklemde 2. derece terim  yoksa) 

$(a+b)^3-3ab(a+b)=(a^3+b^3)$ özdeşliği aşikardır. Bu da şu anlama geliyor:

 $p=3ab$ ve $q=a^3+b^3$ olduğunda, $x=a+b$, $x^3-px=q$  denklemini sağlar. 

Öyleyse $3ab=p,\ a^3+b^3=q$ olacak şeklide $a$ ve $b$ sayıları bulduğumuzda kübik denklemin bir çözümünü bulmuş oluruz. ($a^3b^3=\frac{p^3}{27}$ olduğu için). $a^3$ ve $b^3$ sayılarını bulmak 2. derece bir denklemi çözmeye dönüşür ve bu, çok eskiden beri bilinmektedir. Daha sonra $x=a+b$ den denklemin bir çözümü bulunacaktır. O zamanlar negatif sayılara izin verilmediği için denklemi (her katsayı pozitif olacak şekilde) farklı şekilde yazıp, aynı fikri, biraz farklı şekillerde uygulamak gerekiyordu.

Fakat bu yöntem de bazan çok sorunlu olabiliyor. Bazı denklemlerin aşikar tamsayı çözümlerini bulmak için karmaşık sayılarla uğraşmak gerekiyor. Örneğin $x^3-15x=4$ denklemini aşikar $x=4$ çözümünü bulmak için $\sqrt{-121}$ i hesaplamak gerekir. Cardan ın Ars Magna kitabında bundan kısaca söz edilir.

$x^2$ terimi varsa denklemin nasıl çözüleceğini (büyük bir olasılıkla) Tartaglia (kekeme)  adıyla anılan, Brescia lı Niccolo bulmuştur (Tartaglia kübik denklemin çözümünü anlatan bir şiir yazmıştır). $x^3+ax^2+bx+c=0$ denkleminde, $y=x+\frac a3$ alındığında yeni denklemde 2. derece terim ($y^2$) var olmayacaktır ve denklem yukarıdaki gibi çözülür.

Comments

Hatırladığım kadarıyla Euler'inde üçüncü dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin bir metodu var. 

Answer 2

Üçüncü dereceden bir polinom denklemin köklerini ararken öncelikle sabit terimin çarpanlarına bakarız. Şansımız varsa sabit terimin çarpanlarından biri köktür. Değilse (bu soruda olduğu gibi) o zaman işimiz biraz zor. Bunun için Cardano formüllerini kullanabilirsiniz. https://proofwiki.org/wiki/Cardano's_Formula

Comments

Teşekkürler baya zorlayici:)