Yine tümevarım dışında bir yöntem kullanmak istedim. Bu sayede eşitsizliğin 'neden' sağlandığını görmek daha kolay oluyor, sezgi biraz daha öne çıkıyor.
Öncelikle n sayısının çift olduğunu varsayalım ve n! sayısını açalım;
n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1.
Şimdi dışarıdan içeriye doğru bir baştan bir de sondan sayı alarak çarpma işlemi uygulayalım;
n×1,(n−1)×2,(n−2)×3,….
Bu çarpımların her biri
n'den büyük veya
n'ye eşit ve tam olarak
n/2 adet çarpım var. O halde hepsini taraf tarafa çarparsak,
n!≥nn/2
eşitsizliğini elde ederiz. Şimdi
n sayısı tek olsun. Bu durumda faktoriyel fonksiyonundaki ortanca terim
n+12 olur;
n×(n−1)×(n−2)×⋯×n+12×⋯×3×2×1.
Açık ki
n+12≥√n. Diğer terimler için yukarıda yaptığımız işlemin aynısını uygularsak, elimizde tam olarak
(n−1)/2 tane,
n'den büyük veya
n'ye eşit çarpım olur;
n×1,(n−1)×2,(n−2)×3,….
Son olarak tüm bu terimleri taraf tarafa çarpalım;