Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
656 kez görüntülendi
$H=\left\{ \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}:a,b,c\in Z\right\}$ halka olmak üzere $\varphi :H\rightarrow Z$ , $\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}\right) =c$ dönüşümü bir halka homomorfizmi olur mu?

Denemem:

$\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)=\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ o & c \end{bmatrix}\right) +\varphi \left( \begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)$ olduğundan $c\neq 2c$ çıķar dolayısıyla homomorfizm olmaz değil mi? Görmediğim birşeyler var mı?
Lisans Matematik kategorisinde (15 puan) tarafından  | 656 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Göremediğin yer : Dönüşüm diyor ki içimdeki matrisin 2.satırının 2.sütununu dışarı çıkarırım :)

 

Bu dönüşümün homomorfizma tanımı: $H$ ve $Z$ iki halka olmak üzere $\varphi :H\rightarrow Z$ dönüşümü $\forall\begin{bmatrix}a & b \\0 & c\end{bmatrix},\begin{bmatrix}d & e \\0 & f\end{bmatrix}\in H$ için..

 

1) $\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)=\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}\right) +\varphi \left( \begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)$

2) $\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)=\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ o & c \end{bmatrix}\right) .\varphi \left( \begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)$

koşulları sağlanıyorsa bu dönüşüme bir halka homomorfizması adı verilir.

Şimdi 1) ve 2) koşullarının sağlanıp sağlanmadığına bakalım..

1) $\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)=\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ o & c \end{bmatrix}\right) +\varphi \left( \begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)$ (?)

   $\varphi\left( \begin{bmatrix}a+d & b+e \\0 & c+f\end{bmatrix}\right)=\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ o & c \end{bmatrix}\right) +\varphi \left( \begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)=c+f=c+f$ olup 1) koşul sağlanır.

 

2) $\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)=\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}\right) .\varphi \left( \begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)$ (?)

   $\varphi \left( \begin{bmatrix}ad & ae+bf \\0 & cf\end{bmatrix}\right)=\varphi \left( \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}\right) .\varphi \left( \begin{bmatrix} d & e \\ 0 & f \end{bmatrix}\right)=cf=c.f$ olup 2) koşulda sağlanır.

O halde $\varphi :H\rightarrow Z$ dönüşümü bir halka homomorfizmasıdır deriz.

 

 

(467 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,200 soru
21,726 cevap
73,275 yorum
1,887,767 kullanıcı