Düzgün yakınsaklık-noktasal yakınsaklık

Question

Bu ikisi arasındaki var olan ilişkiyi anlamadım:

Fonksiyon dizisi düzgün yakınsak ise noktasal yakınsaktır.

Noktasal yakınsaklıkta tanım kümesindeki bir x için (ki bu keyfi) sıfırdan büyük olarak verilen keyfi epsilona karşılık bir tane N tamsayısı bulmaya çalışıyoruz ( burada N hem x'e hem de epsilon'a bağlı olabilir) öyle ki n>N iken $|f_{n}(x) - f(x)| <\epsilon$

Ama düzgün yakınsaklıkta ise verilen epsilona karşılık yine bir N bulmaya çalışıyoruz (fakat bu sefer N x'ten bağımsız, sadece epsilon'a bağlı) öyle ki tanım kümesindeki her x elemanına ve her n>N için $|f_{n}(x) - f(x)| <\epsilon$

İspatın tanımdan geldiğini biliyorum ama yine de ilişkilendiremiyorum.

Comments

http://matkafasi.com/7518/duzgun-yakinsaklik#a7534 bu linki okumanızı tavsiye ederim

Answer 1

Yukarıdaki tanımların ışığında, her $x$ için sağlanan bir ifâde herhangi bir $x$ için de sağlanacaktır. (Tersi ise doğru değildir.) O hâlde, düzgün yakınsak olan bir fonksiyon dizisi aynı zamanda noktasal yakınsaktır.

Answer 2

Tanım: $X\neq \emptyset \,\ \text{küme}, \,\ (Y,d)$ metrik uzay$,$ $f_n \in\left (Y^X\right)^\mathbb{N} \,\ \text{ve} \,\ f \in Y^X$ olmak üzere

$$f_{n}\overset{d}{\longrightarrow }f:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall x\in X)(\forall n\geq N)(d(f_n(x),f(x))<\epsilon)$$ $$f_{n}\overset{n}{\longrightarrow }f:\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\forall x\in X)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall n\geq N)(d(f_n(x),f(x))<\epsilon)$$

Teorem: Düzgün yakınsak her fonksiyon dizisi noktasal yakınsaktır.

İspat:

$$f_{n}\overset{d}{\longrightarrow }f$$ $$\Rightarrow$$ $$(\forall \epsilon >0)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall x\in X)(\forall n\geq N)(d(f_n(x),f(x))<\epsilon)$$

$$\overset{?}\Rightarrow$$

$$(\forall \epsilon >0)(\forall x\in X)(\exists N \in \mathbb{N})(\forall n\geq N)(d(f_n(x),f(x))<\epsilon)$$

$$\Rightarrow$$

$$f_{n}\overset{n}{\longrightarrow }f$$

Burada en can alıcı nokta "$?$" işaretinin olduğu yerdeki geçişin gerekçesi. Bunun için mantık bilmek gerekiyor. Gerektirme tanımını bilmek gerekiyor. Niceleyiciler yardımıyla elde edilen önermeler arasındaki ilişkileri bilmek gerekiyor. vs.