Ardışık terimleri arasındaki oranı sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Buna göre; a= ilk terim, r= ortak çarpan, n= terim sayısı, Sn= de ilk n terimin toplamı olsun. Sonlu geometrik serilerde; Sn=a+ar+ar2+...+arn−1 dir. Eşitliği −r ile çarpıp alt alta toplarsak; Sn=a+ar+ar2+...+arn−1−r.Sn=−ar−ar2−...−arn−1−arn+−−−−−−−−−−−−−−−−−−Sn−rSn=a−arnSn(1−r)=a(1−rn)Sn=a(1−rn)1−r toplam şeklinde gösterirsek eğer; ∑nk=0ark=a−arn+11−r. Şimdi sonsuz olarak göstermeyi deneyelim. n→∞ için incelersek; lim dir. n \to \infty için bu ifadenin limiti nedir? |r| \gt 1 olduğu durumda üstel ifade devasa şekilde büyür. Üstel ifade büyüdüğünden a - ar^{n+1} de büyür. r = 0 olursa geometrik seri olmaz. O hâlde 0 \lt |r| \lt 1 için; n \to \infty de ar^{n+1} hızla küçülür. Yani sıfır'a yaklaşır. \lim_{n \to \infty}\frac{a-ar^{n+1}}{1-r} = \frac{a}{1-r} olur. Soruya geçersek... Toplam; 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+\: . \: . \: . toplamı \frac{1}{2^{n}} şeklinde yeniden yazarsak; \frac{1}{2^{0}}+ \frac{1}{2^{1}}+ \frac{1}{2^{2}}+\: . \: . \: . şeklinde olur. \frac{\frac{1}{2^{0}}}{1- \frac{1}{2}} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} dir.
Ayriyeten \sum_{n=k}^{\infty}r^{n} = \begin{cases} \frac{r^{k}}{1-r}, -1\lt r\lt 1 \\\\ iraksak, aksi taktirde \end{cases} olduğunu biliyoruz, r = 1/2 ve k =0 için yine aynı şey olurdu.