Question

$\lim\limits_{t\to 0} (1+t)^{\frac1t}=?$

Comments

$t=\frac1x$ donusumu yapilirsa 

$\lim\limits_{x\to \infty} (1+\frac1x)^x=e$

olur.

---

Neden $$\lim\limits_{x\to \infty} (1+\frac1x)^x=e$$ olur?

---

$$e:=\lim\limits_{x\to \infty} \Big(1+\frac1x\Big)^x\quad QED$$

---

$e:=\lim\limits_{n\to \infty} \Big(1+\frac1n\Big)^n$ şeklinde tanımlıyorum. Bu durumda da $$\lim\limits_{n\to \infty} \Big(1+\frac1n\Big)^n=\lim\limits_{x\to \infty} \Big(1+\frac1x\Big)^x$$ olduğunu göstermemiz gerekir.

---

 Onu göstermek için $\left(1+\frac1x\right)^x$ fonksiyonun, $[1,+\infty)$ aralığında artan olması yeterli mi? (Ama türev kullanarak)

---

Ben de onu dusunuyordum hocam. Monoton artan oldugu gosterilebilir. Dizi fonksiyonlari ile alakali, yanlis hatirlamiyorsam, bir teorem vardi burda kullanabilicegimiz. 

Answer 1

$y=(1+x)^{\frac 1x}$ diyelim.

$lny=\frac 1x.ln(1+x)$ 

$\lim\limits_{x\to 0}lny=\lim\limits_{x\to 0}\frac{ln(1+x)}{x}$  olup bu $\frac 00$ belirsizliğindedir.

L'Hospital ile 

$\lim\limits_{x\to 0}lny=\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{1+x}=1$  Dolayısıyla $lny=1\Rightarrow y =e$ ve $\lim\limits_{x\to 0}y=\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac 1x}=\lim\limits_{x\to 0}e=e$  olacaktır.