Sonsuz toplamda trigonometrik fonsiyonlar

Question

$\cos^2x$=$\frac{1}{2}$+$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}$ olduğunu nasıl gösterebiliriz?

Comments

Yarım (iki kat) açı formülünü kullanmayı denediniz mi?

---

Yorumunuz için çok teşekkürler hocam. Aynı zamanda 2007-2011 tarihleri arasında üniversiteden öğrencinizdim. soruyu yükledikten sonra çözdüm.

---

ataokuyucu, sorunun çözümünü de yazarsan hem çözülmüş olarak görünür hem de puan kazanırsın!

Answer 1

$\cos^2x=1-\sin^2x$          ($\cos^2x+\sin^2x=1$) 

$\cos^2x=1-\frac{1-\cos2x}{2}$          ($\sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}{2}$)  

$\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)$

                                                      ($\cos x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$)

                                             ($\cos x$ fonsiyonunda $x$   gördüğümüz yerlere $2x$ yazalım.)

                                                    ($\cos(2x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!}$)

$\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{(2n)!}$        ($\frac{1}{2}$ yi içeri alalım.)

$$\cos^2x=\frac{1}{2}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(2x)^{2n}}{2(2n)!}=\frac{1}{2}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}$$