Question

Kareli ortalaması $12$ , aritmetik ortalaması $8$ olan kitlenin varyansı nedir?

Answer 1

$n$ tane terimden oluşan kesikli veri grubunu alalım: $x_1, x_2, \dots, x_n$ terimlerinin karesel ortalaması $$\sqrt{\sum_{k=1}^n\dfrac{x_k^2}{n}}=12$$ ve aritmetik ortalaması $$\bar{x} = \sum_{k=1}^n\dfrac{x_k}{n} = 8$$  veriliyor. $$(x_k - \bar{x})^2 = x_k^2 - 2x_k\bar{x} + \bar{x}^2$$ tam kare özdeşliğini ve toplam sembolünün özelliklerini kullanarak

$$\sum_{k=1}^n(x_k - \bar{x})^2 = \sum_{k=1}^nx_k^2 -16\sum_{k=1}^nx_k + 64n$$ olup $$\sum_{k=1}^n(x_k - \bar{x})^2 =144n -16\cdot 8n + 64n = 80n$$ elde edilir. Buna göre $$\text{Var} = \sum_{k=1}^n\dfrac{(x_k-\bar{x})^2}{n-1} =\dfrac{80n}{n-1}$$ elde edilir.

Not: Veri grubu kesikli değil de sürekli olursa toplam sembollerinin yerine integral kullanılacaktır. Bu durumda da veri sayısı için $n\to \infty$ durumu oluştuğundan  $$\text{Var} = \lim_{n\to\infty} \dfrac{80n}{n-1} = 80$$ elde edilecektir diye umuyorum. İntegral gösterimi içeren sürekli veri grubun ait çözümü size bırakıyorum.

Comments

Teşekkür ederim lokman hocam en kisa zamanda bakacam.

---

Varyans ve stardart sapma hesabı yapılırken $n$ ile bölme veya $n-1$ ile bölme kullanılabiliyor. Normal olanı $n$ ile bölmek. Fakat $n-1$ ile bölmeye de Bessel Düzeltmesi deniyordu. Küçük $n$ değerlerinde $n$ ile bölmek, varyans hesabında istenen etkiyi göstermediği için $n-1$ ile bölme şeklinde bir düzeltme formülü üretilmiş ve hatta $n-2$ ile bölme yapılan bir başka düzeltme formülü de var diye biliyorum.

 

$n$ ile bölme tanımına göre, $$\text{Var} = \sum_{k=1}^n\dfrac{(x_k-\bar{x})^2}{n} =\dfrac{80n}{n} = \boxed{80}$$

sabit değeri elde edilir.