$S = \left( 1273\right) \left(64\right) \left( 38725\right)$ , $S\in S_{8}$ , $S^{1045}=?$

Question

$S=\left( 1273\right) \left(64\right) \left( 38725\right)$ , $S\in S_{8}$ 

$S = \left( 1273\right) \left(64\right) \left( 38725\right)$ , $S\in S_{8}$ , $S^{1045}=?$

Soruda bir döngü elde ediceğimi düşündüm. 

$S = \left( 125\right) \left( 38\right) \left( 46\right)$ buldum.

$S$ i doğru bulduysam , $S^{2}$yi bulmalıyım fakat burada kafam karıştı.

$S^{2} = \left( 125\right) \left( 38\right) \left( 46\right) \left( 125\right) \left( 38\right) \left( 46\right)$

Comments

Matris gosterimi daha kolay geliyor bana. $f\circ g=f(g)$ oldugunu kabul edersek, $S$'yi dogru bulmussun. 

$S=( 125)( 38)( 46)=\left( \begin{array}{cccccccc}  1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\  2 & 5 & 8 & 6 & 1 & 4 & 7 & 3 \\ \end{array} \right)$

$S^2=S\circ S=\left( \begin{array}{cccccccc}  1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\  2 & 5 & 8 & 6 & 1 & 4 & 7 & 3 \\ \end{array} \right)\circ\left( \begin{array}{cccccccc}  1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\  2 & 5 & 8 & 6 & 1 & 4 & 7 & 3 \\ \end{array} \right)$

$=\left( \begin{array}{cccccccc}  1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\  5 & 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 7 & 8 \\ \end{array} \right)=(152)$

Ne yaptik burda. Fonksiyonlardaki gibi bilesim ozelligi kullanildi, yani $f\circ g=f(g)$. Sagdan basliyoruz. Sagda $1\rightarrow 2$, soldaki permutasyona gec, $2\rightarrow 5$, demek ki $1\rightarrow 5$ olacak.

Sagda $2\rightarrow 5$, soldaki permutasyona gec, $5\rightarrow 1$, demek ki $2\rightarrow 1$ olacak.

Sagda $3\rightarrow 8$, soldaki permutasyona gec, $8\rightarrow 3$, demek ki $3\rightarrow 3$ olacak.

$S^3$'u bulmaya calis bakalim.

$S^3=S^2S=S^2\circ S=\left( \begin{array}{cccccccc}  1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\  5 & 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 7 & 8 \\ \end{array} \right)\circ\left( \begin{array}{cccccccc}  1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\  2 & 5 & 8 & 6 & 1 & 4 & 7 & 3 \\ \end{array} \right)$

Umuyoruz ki belli bir kuvvet bize birim permutasyonu verecek, yani herkes kendine gidecek. Bi nevi grubun periyodunu ariyoruz, gerisi kolay.

Bu arada neden $S^3=SS^2=S\circ S^2$ yapmadik bi dusun bakalim.

---

hocam , $S^3 = (38)(46)$ buldum sizde teyit edebilir misiniz ?

---

Dogrudur....

Answer 1

Ökkeş hocam teşekkür ederim yardımınız için , soruyu şöyle çözdüm .

$S^2 = (152)$  buldum bende sonra bunun karesini aldım $S^4 = (125)$ buldum.

$S^2  S^4 = 1$ yani $S^6 = 1$

$\left( S^{6}\right) ^{174}.S  = S^{1045}$ cevap $S$ miş.

$S = (125)(38)(46)$

Comments

Evet derecesi 6 cikiyor.. $1$ yerine $(1)$ kullanilsa daha dogru gosterim olur..

---

$S = \left( 125\right) \left( 38\right) \left( 46\right)$ (ayrık devirlerin çarpımı)  ve ekok(3,2,2)=6 oluşundan $S^6=1$ olmaz mı?