Question

$4^x+9^x+25^x=6^x+10^x+15^x$ denkleminin tüm gerçel köklerini bulunuz.

Comments

$x=0$ degerinin bir kok oldugu acik..

---

Başka yok mu? Yoksa olmadığını nasıl garanti ederiz?

---

$(2^x+3^x+5^x)^2=4^x+9^x+25^x+2(6^x+10^x+15^x)=3(4^x+9^x+25^x)$

eşitliği ne kadar işe yarar acaba? 

---

$2^x=a$  

$3^x=b$ 

$5^x=c$  dersek birşeyler görülebilir belki

---

Bu ozdeslikle $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0$

Answer 1

Lisans düzeyi bir çözüm:

$a=2^x,\ b=3^x,\ c=5^x$  olmak üzere verilen denklem 

$a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc$ dir.

$u=a\,\mathbf{i}+b\,\mathbf{j}+c\,\mathbf{k},\ v=b\,\mathbf{i}+c\,\mathbf{j}+a\,\mathbf{k}$ uzay vektörleri için,

$u\cdot v=\left\| u\right\|^2=\left\| u\right\|\left\| v\right\|$ olması demektir.

Cauchy-Schwartz eşitsizliğinde, eşitlik yalnızca vektörler lineer bağımlı iken olabilir. Öyleyse:

$u=\lambda v$ (ya da $v=\lambda u$, ama o durumda da aynı mantık kullanılabilir) yani $a=\lambda b,\ b=\lambda c,\ c=\lambda a$ olacak şekilde bir $\lambda$  sayısı var olmalıdır.  Bunlardan $a=\lambda^3 a$ elde edilir. $a\neq0$ oluşundan $\lambda=1$ bulunur. Öyleyse $a=b=c$ olmalıdır.

Bu da sadece $x=0$ iken sağlanır.

Answer 2

$$4^x+9^x+25^x=6^x+10^x+15^x$$

$$\Rightarrow$$

$$(2^x)^2+(3^x)^2+(5^x)^2=2^x\cdot 3^x+2^x\cdot 5^x+ 3^x\cdot 5^x$$

$$\Rightarrow$$

$$2\cdot (2^x)^2+2\cdot (3^x)^2+2\cdot (5^x)^2-2\cdot 2^x\cdot 3^x-2\cdot 2^x\cdot 5^x-2\cdot 3^x\cdot 5^x=0$$

$$\Rightarrow$$

$$(2^x)^2+(3^x)^2+(5^x)^2+(2^x)^2+(3^x)^2+(5^x)^2-2\cdot 2^x\cdot 3^x-2\cdot 2^x\cdot 5^x-2\cdot 3^x\cdot 5^x=0$$

$$\Rightarrow$$

$$[(2^x)^2-2\cdot 2^x\cdot 3^x+(3^x)^2]+[(5^x)^2-2\cdot 2^x\cdot 5^x+(2^x)^2]+[(3^x)^2-2\cdot 3^x\cdot 5^x+(5^x)^2]=0$$

$$\Rightarrow$$

$$(2^x-3^x)^2+(5^x-2^x)^2+(3^x-5^x)^2=0$$

$$\Rightarrow$$

$$2^x-3^x=5^x-2^x=3^x-5^x=0$$

$$\Rightarrow$$

$$2^x=3^x=5^x$$

$$\Rightarrow$$

$$x=0$$