4 tane filin 5×5'lik bir satranc tahtasina yerlestirme sayisi.

Question

$N$ sayisi $4$ tane filin $5\times5$'lik bir satranc tahtasina,  $3$ filin ayni kosegen uzerinde olmamasi sartiyla, toplam yerlestirilme sayisi olsun.  $N\equiv x\, (\text{mod}\,100)$ ise $x=?$

Not: Kosegenden kasit sadece ana kosegen degildir. Butun capraz durumlar gozonunde bulundurulmalidir, mesela 3,4,5 uzunlugundakiler.

Comments

İstenen durumların sayısını $N=12012$ olarak hesapladım. Buradan, $x=12$ oluyor. Fakat gözden kaçırdığım bir şey olmuştur belki, hesaplamamda hata da olabilir. Yanıt doğru ise, detaylı çözümü yazabilirim.

---

Evet $x=12$ dir.

Answer 1

$5\times 5$ tahtada $4$ fil için $\dbinom{25}{4}=12650$ yerleştime yapabiliriz. İstenmeyen durumları çıkaralım. Fil yerleştirdiğimiz kareleri $\star$ sembolü ile işaretleyelim.

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|} \hline \color\white{\star} &  & &  &  \\ \hline   \color\white{\star}  & \color\white{\times}  &  \color\white{\times}&\color\white{\times}  & \color\white{\times} \\ \hline \star  &  \color\white{\star}  &  \color\white{\star}  &  \color\white{\star} &   \\ \hline   & \star &  \color\white{\star}  &  \color\white{\star} &  \color\white{\star}  \\ \hline   \color\white{\star}  &  \color\white{\star}   & \star &  \color\white{\star}  &  \color\white{\star}  \\ \hline  \end{array}$

Bu durumda üç fil bir köşegen üzerindedir. Bu biçimde $4$ farklı düzen vardır. Son fili, geri kalan $22$ kareden herhangi birine yerleştirebiliriz. Buradan $4\cdot 22 = 88$ elde edilir.

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|} \hline   \color\white{\star}  &   \color\white{\times}  & \color\white{\times}  &  \color\white{\times}  & \color\white{\times} \\ \hline  \star  & \color\white{\times}   &\color\white{\times}   & \color\white{\times}  & \color\white{\times}   \\ \hline  \color\white{\times}  & \star  & \color\white{\times}  & \color\white{\times}  & \color\white{\times}   \\ \hline \color\white{\times}  & & \times & \color\white{\times} &  \color\white{\times}  \\ \hline    \color\white{\star}  &   \color\white{\star}  &  \color\white{\star}  & \star  &  \color\white{\star}  \\ \hline  \end{array}$

Bu durumda yine üç fil doğrusal konumdadır, ancak son fili $\times$ olan kareye getirmiyoruz. Yani yalnızca üç filin doğrusal olduğu durumları hesaplamak istiyoruz. Dolayısıyla aynı köşegen üzerindeki $4$ yerden $3$ tanesine fil getirip birini boş bıraktığımız durumlar $\dbinom{4}{3}$ ile belirlenir. Bu şekilde $4$ konfigürasyon vardır. Ayrıca geriye kalan $21$ kareden birine sol fili yerleştireceğiz. Buradan $4\cdot \ \dbinom{4}{3} \cdot 21 = 336$ elde edilir.

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|}  \hline   \star &  \color\white{\times}  & \color\white{\times}  & \color\white{\times}   & \color\white{\times} \\ \hline \color\white{\times}  & \star & \color\white{\times}  & \color\white{\times} & \color\white{\times}   \\ \hline  &  & \times &  &   \\ \hline   & &  & \times  &    \\ \hline   &   & &  & \star \\ \hline  \end{array}$

Ana köşegen üzerindeki $5$ kareden $3$ tanesini seçerek bu işlemi yapalım: $\dbinom{5}{3}$ yolla bu seçim olur. $2$ tane ana köşegen seçimi vardır. Ayrıca geriye kalan $20$ kareden birine son fili yerleştiririz. Buradan $2\cdot \dbinom{5}{3} \cdot 20 = 400$ olur.

$4$ filin köşegenlere paralel bir doğru üzerinde olduğu diğer durumların sayısının da $4+ 2\cdot \dbinom{5}{4}= 14$ olduğu kolaylıkla hesaplanabilir.

Böylece istenmeyen durumların toplam sayısı $88+336+400+14= 838$ dir. İstenen durumların sayısı ise $12650 - 838 = 11812$ dir. $N=11812 \equiv 12 \pmod{100}$ elde edilir. $x=12$ olur.

Comments

Genisletmek istediginiz sutunun bos olan bir hucresine sunu yazabilirsiniz. 

\color\white{\star }

veya \color\white{\times }