İlginç bir polinom bölmesi.

Question

Aşağıdaki ifadenin x1'e giderkenkenki limitini bulmaya çalışıyordum. Fakat pes edip wolframalpha kullanarak sonuca ulaştım. Çözümde polinom bölmesi yapılmış ve ikinci görüntüdeki ifade elde edilmiş. Elde edilen bölüme nasıl ulaştığımızı açıklayabilir misiniz ?

Comments

Polinom bölmesi yaparak olmasın? Polinom bölmesi hakkında bilginiz var mı?

---

Iki defa L'Hospital kullanmak isinizi gorurdu.

---

L'Hospital kullanmadan sonuca nasıl ulaşılacağını merak ediyoruö.

---

Ben olsam:

$101$'i gördüğüm an bir duraklardım. Kendi kendime "Dur bakalım, bu biraz zor, bunu biraz kolaylaştırmaya çalışayım, belki bir kural bulurum" derdim.

$101$ yerine $2$'den başlasam ne olur?

$$\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2-2x +1} = 1$$

Bu çok kolay oldu. $3$'ü deneyeyim.

$$\frac{x^3-3x +2}{x^2-2x+1} = x + 2$$  

Tamam, bunu cebe koyuyorum. Henüz bir kural bulmuş değilim. $4$'ü deneyeceğim.

$$\frac{x^4-4x+3}{x^2-2x+1} = x^2 + 2x + 3$$

Sanki bir kural geliyor gibi. Acaba $5$'i denediğimde $x^3 + 3x + 4$ mü elde edeceğim? Deneyeyim. Evet, denedim ve olduğunu gördüm. Şimdi ikna oldum, bir kural var gibi gözüküyor. Bu da bana $101$'i denediğimde ne elde edeceğime dair bir ipucu veriyor. (Ama bunu kontrol etmem lazım, çünkü elde ettiğim kural doğru olmayabilir). Kontrol ediyorum ve doğru çıktı. Işlem tamam.

---

$x^{101}-101x+100=(x^{101}-1)-101(x-1)$

$x^{101}-1$ i çarpanlara ayırabilir misin?

---

O zaman ipucu: $101$ asal sayi ve  Dogan hocanin onerisini kullanabilirsin,. Suna bir bak istersen. http://mathworld.wolfram.com/CyclotomicPolynomial.html

---

Her $k$ tam sayisi icin 

$$(k+2)-2(k+1)+k=0$$ oldugunu biliyoruz. Genel olarak $$(x^2-2x+1)((kx^{n+2}+(k+1)x^{n+1}+(k+2)x^n)$$ carpiminda $x^{n+2}$ teriminin kat sayisi $0$ olur.

Buradan (benzeri esitliklerle) bir suru genel sonuc da cikarabiliriz aslinda.

---

@Özgür 

Bazen yorumları gereksiz kullanıyorsun. Burada hak vermiştin eleştiriye, hatırla.

---

Genelleştirmesini merak ettim. Üst yorumu daha güzel yazıp cevaba aktarırım :) 

Answer 1

Ifadede $x+1$ transformasyonu yaparsan payda $x^2$ olur ve pay ise 

$$(x+1)^{101}-101(x+1)+100$$ $$=(1+101x+\frac{101\cdot100}{2}x^2+\cdots+x^{101})-101(x+1)+100$$ $$=\frac{101\cdot100}{2}x^2+\cdots+x^{101}$$ olur.

Not: `L'Hospital kullanmadan sonuca nasıl ulaşılacağını merak ediyorum.'a binaen bu cevabi yazdim. 

Comments

Limit degerini bulmak icin, her terimi $x^2$\ye boldukten sonra $x=x-1$ donusumu yapmak lazim.

---

Gerek yok, x yerine 0 koyacaz. Bu da sabit terim demek.

Answer 2

Hadi Dogan hocanin onerisini kullanalim. Once paya $1$ ekleyip cikaralim

$\dfrac{x^{101}-101x+100}{x^2-2x+1}=\dfrac{(x^{101}-1)-101(x-1)}{(x-1)(x-1)}$

$x^{101}-1=(x-1)(x^{100}+x^{99}+\dots+x^2+x+1)$ oldugunu biliyoruz.

Veya daha genel haliyle $n$ pozitif tam sayi olmak uzere

$x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x^2+x+1)$ oldugunu biliyoruz.

 Pay da yerine koyup, $(x-1)$ parantezine alip sadelestirelim.

$\dfrac{(x-1)(x^{100}+x^{99}+\dots+x^2+x+1)-101(x-1)}{(x-1)(x-1)}=\dfrac{(x^{100}+x^{99}+\dots+x^2+x+1)-101}{(x-1)}$

Payi soyle yazabiliriz

$\dfrac{(x^{100}-1)+(x^{99}-1)+\dots+(x^2-1)+(x-1)}{(x-1)}$

$\dfrac{(x-1)(x^{99}+x^{98}+\dots+1)+(x-1)(x^{98}+x^{97}+\dots+1)+\dots+(x-1)(x+1)+(x-1)}{(x-1)}$

$(x^{99}+x^{98}+\dots+1)+(x^{98}+x^{97}+\dots+1)+\dots+(x+1)+1$

$x^{99}+2x^{98}+3x^{97}+4x^{96}+\dots+99x+100$

Answer 3

Gozlem: Her $k$ tam sayisi icin 

$$(k+2)-2(k+1)+k=0$$ oldugunu biliyoruz. Genel olarak $$(x^2-2x+1)((kx^{n+2}+(k+1)x^{n+1}+(k+2)x^n)$$ carpiminda $x^{n+2}$ teriminin kat sayisi $0$ olur.

                                                   -----------------------------------                                                 

Dolayisiyla $(x^2-2x+1)\cdot(x^{n-2}+2x^{n-3}+\cdots+(n-2)x+(n-1))$ icin 

$$(x^2-2x+1)\cdot \sum_{k=0}^{n-2}(n-1-k)x^k$$ $$=x^n+(2+(-2))x^{n-1}+ \text{*sifirlar*}+((n-2)-2(n-1))x+(n-1)$$ $$=x^n-nx+(n-1)$$ esitligi elde edilir.

                                                  -----------------------------------                                                 

Ek: Benzer sekilde

$$(1,-1,1,-1,1)\cdot(1,4,6,4,1)=0$$ ve $$(1,4, 6,4,1)\cdot(-2,-1,0,1,2)=0$$  yapar. $(x-1)^{2k}$ ile carpimda da benzer sonuclari elde edebiliriz. Ortada epey terim sifir olur. Tek kuvvetlerde ise ortadakiler sifir degil ama sabit olur,