diferansiyel denklemin çözümü

Question

$\dfrac {d^{2}y} {dx^{2}}=\dfrac {dy} {dx}-e^{2x}y$  diferansiyel denkleminin çözümü nedir? bu denklemin tipi hakkında bilgi verebilir misiniz? denklemleri sınıflandırmanın bir sistematiği var mıdır?

Comments

İkinci mertebeden değişken katsayılı homojen dif. denklem.

---

hocam wolfram alpha 2. dereceden lineer diferansiyel denklem diyor ve çözümü $y=c_{1}\cos \left( e^{x}\right) +c_{2}\sin \left( e^{x}\right)$ olarak veriyor.

---

İkinci dereceden değil, ikinci mertebe birinci dereceden bir dif. denklem.

Answer 1

$e^x=u$ dönüşümü yapalım.

$$e^x=u\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=e^x=u$$

$$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}=u\dfrac{dy}{du}$$

$$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)=\dfrac{d}{dx}\left(u\dfrac{dy}{du}\right)=u\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{du}\right)+\dfrac{dy}{du}\left(\dfrac{du}{dx}\right)=u\dfrac{d}{du}\dfrac{du}{dx}\left(\dfrac{dy}{du}\right)+\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}=u^2\dfrac{d^2y}{du^2}+u\dfrac{dy}{du}$$

Bunları diferensiyel denklemde yerine yazarsak

$$y''-y+e^{2x}y=\left(u^2\dfrac{d^2y}{du^2}+u\dfrac{dy}{du}\right)-u\dfrac{dy}{du}+u^2y=u^2\dfrac{d^2y}{du^2}+u^2y=u^2\left(\dfrac{d^2y}{du^2}+y\right)=0$$

elde edilir. $u=e^x$ olduğundan $u^2=0$ olamaz. O halde 

$$\dfrac{d^2y}{du^2}+y=0$$

 olmalıdır. Bundan sonrası zor olmasa gerek artık. Bu ikinci mertebeden sabit katsayılı homojen bir diferensiyel denklemdir. Çözümünü de bulmak gayet kolay.