$S$ ve $T$ sonlu kümeler olsun. $F(S)$ ve $F(T)$'nin izomorf olması için gerek ve yeterli koşul $S$ ve $T$'nin eleman sayılarının eşit olmasıdır.

Question

Burada $F(S)$,  $S$'den $\mathbb{R}$'ye tüm fonksiyonların kümesi demek. lineer genişleme mi kullanmak lazım acaba. Eleman sayılarının eşit olması lineer genişleme tanımlayabilmek için yeterli midir?

$H:F(S) \to F(T)$

$A\in F(S)$ olsun.  $A_1,... A_n$ de taban olsun. $A=a_1A_1+...+a_nA_n$

$H(A)=a_1H(A_1)+...a_nH(a_n)$'dir. burada $B_1,...B_n$için $F(T)$' nin tabanı dersek

$H(A)=a_1H(A_1)+...a_nH(a_n)=b_1B_1+...b_nB_n$oluyor. yani $L(H(A))$ $F(T)$'yi geriyor. o zaman $H(Ai)=Bi$ diyebilir miyiz? dersek çek$H=0$ olduğunu gösterebiliriz. çünkü $a_1=... =a_n=0$ olur. 

Comments

$F(S)$   ve  $F(T)$  sırasıyla  $S$ ve  $T$ den $\mathbb{R}$ ye izomorfizmler ise  $T$  den  $S$   ye  $g=F^{-1}(S)F(T)$ dönüşümünün izomorfizm olduğunu göstermek yeterli olmaz mı?

---

Ben eleman sayılarının eşit olduğunu kabul edip izomorfizm olduklarını göstermeye çalışıyordum aslında ama bunu da deneyeyim. 

---

$G: T \to S$  ve A $\in$ Çek$G$ olsun. $F^{-1}(F(A))=0$, $F(A) \in \mathbb{R}$ olduğundan $v_0$, $F(A)$'nın tabanı olsun.

$F(A)=t.v_0$

$F^{-1}\circ F(A)=F^{-1}(tv_0)=t.F^{-1}(v_0)=0$

.$F^{-1}(v_0) \in S$ ve $S \to \mathbb{R}$ izomorf ooduğundan $v_0=0$ yani $F(A)=0$

$F(A)$ da $T \to \mathbb{R}$ izomorf olduğundan $A=0$ bulunur. Yani Çek$G$=0

$A \in$ Gör$G$ olsun $A \in G(T)$=$F^{-1}\circ F(T)$ yani $A \in S$

Gör$G$ $\subset S$

$A \in S$ olsun. $A=F^{-1}(v_0)$ olacak şekilde$F^{-1}(v_0) \in \mathbb{R}$ vardır. $F(T)$de $T \to \mathbb{R}$ izomorfizm olduğundan $\mathbb{R}$=Gör$T$'dir yani bir$A'\in T$ için $F(A')=F^{-1}(v_0)=A$ olur. dolayısıyla $A \in$ Gör$G$ olur. 

$S \subset$ Gör$G$ dolayısıyla Gör$G$=$S$ ve $G$ izomorfizm. ispat doğruysa eleman sayısıyla ilgili nasıl bir çıkarım yapmam lazım peki. galiba ispat yanlış.

---

$S$ nin eleman sayısı ile $F(S)$ vektör uzaylının boyutu arasında bir ilişki kurabiliyor musun justkrm?

---

$\{A_1,...A_n\} =T$ olsun. o zaman $F(T)$ bu elemanların F altındaki görüntüsünden ve onların lineer birleşimlerinden oluşur yani $T$'nin elemanları $F(T)$ için tabandır. 

İzomorfiznden dolayı

$F^{-1}(F(A))=A$

$F^{-1}(F(A))=F^{-1}(a_1F(A_1)+...+a_nF(A_n))$

$=a_1F^{-1}(F(A_1))+...+a_nF^{-1}(F(A_n))$

$=a_1B_1+...a_nB_n=A.$

yani $F(B_i) =F(A_i)$ oluyor. $i=1,2,..n$ olduğundan $S$'nin de $n$ tane elemanı var. 

---

 "T nin elemanları F(T) için tabandır." 

İfadesini biraz açıklar mısın.

---

yanlış ifade ettim. $F(T)$'nin boyutu $T$' deki eleman sayısına eşittir çünkü $T=\{A_1,...A_n\}$ ise $F(T)=L(F(A_1),...,F(A_n))$ dir.

$\{F(A_1),...F(A_n)\}$ lineer bağımlı ise bir $F(A_{n+1} )$ $\notin$ $L(F(A_1),...,F(A_n))$'dir. öyleyse $F^{-1} F(A_{n+1} )=A_{n+1}$ $\in$ $T$' dir. bu T'nin alınımıyla çelişir. oldu sanırım. 

---

Burada, $F(S)$ ile $F(T)$ hangi cebirsel yapı olarak (grup, halka,cisim, vektör uzayı) izomorf (tahmin ediliyor ama) açıkça söylesen iyi olur. 

Bir de  son yorumu anlamadım:

"$T=\{A_1,...A_n\}$ ise $F(T)=L(F(A_1),...,F(A_n))$ dir." cümlesindeki

$F(A_i)$ nedir? 

edit (sonraki satırı sildim)

(Çok kolay bir ispatı var, onun için bunları yazıyorum)

---

vektör uzayı olarak izomorflar. $F(A_i)$ de $T$ sonlu kümesindeki elemanların görüntüsü yani $F(T):T \to \mathbb{R}$ 

$A_i \to F(A_i)$ $i=1,2,...n$ 

---

İzomorfik vektör uzaylarının boyutları hakkında ne söyleyebiliriz?

(Yorumların bir kısmında bu iddianın ispatı yapılmaya çalışılıyor sanırım)

(Yine anlamadım. $F(A_i):T\to \mathbb{R}$ hangi fonksiyon? $F(A_i)$ herhangi bir fonksyon ise $\{F(A_İ)\}_{i=1}^n$ kümesinin, $F(T)$ için bir baz olduğunu gösteremeyiz. Bu soru aslında  sadece $s(T)=|T|=\textrm{boy}\, F(T)$ olduğunu göstermek için ilgili)

---

Notasyon biraz karışmış burada:

$F(T):T\to\mathbb{R}$ değil, $F(T)=\{f|\, f:T\to\mathbb{R}\}$ değil miydi?

Bu nedenle $F(A_i)$ de bana anlamlı gelmiyor. 

Ayrıca, ne olduğu bilinmeyen elemanların bir vektör uzayının tabanı olduğunu nasıl gösterebiliriz ki?

Bence her $A_i\in T$ için, (o elemana özel) bir $f_i:T\to\mathbb{R}$ fonksiyonları oluşturmalısın. 

O zaman, $\beta=\{f_i:1\leq i\leq n\}$ nin $F(T)$ için bir baz olduğunu göstermek çok kolay olacaktır.

(Belki de sen, $F(A_i)$ yazarken benim kastettiğim $f_i$ leri düşünüyorsun.)

---

@justkrm

$S = \{a,b\}$ kümesi olsun. Bana $S$'den $\mathbb{R}$'ye giden bir fonksiyon örneği verebilir misin?

---

$F(a)=1$

$F(b)=2$ olur mu? 

---

Olur tabii, çok güzel. Yalnız büyük F harfini başka bir şey için kullanıyorsun soruda. Dikkat edersen $F( ... )$ notasyonu $...$ kümesinden reel sayılara giden fonksiyonların uzayı olarak kullanılıyor soruda. O yüzden büyük $F$ yerine küçük $f$ kullanalım fonksiyonlar için.

Burada şu an en önemli nokta şu: Senden bir fonksiyon yazmanı istedim. Sen bana iki tane reel sayı verdin. Yani $F(S)$ kümesinden $\mathbb{R}^2$ kümesine giden bir gönderim var. Bu gönderimi $J$ harfiyle gösterelim:

$$J : F(S) \to \mathbb{R}^2 \qquad , \qquad f \mapsto \begin{bmatrix} f(a) \\ f(b) \end{bmatrix}$$

Senin verdiğin fonksiyon örneği için mesela 

$$J(f) =  \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

oluyor. 

Şimdi üç soru soracağım. Bunları evet ya da hayır olarak cevaplamanı isteyeceğim.

1) Eğer senden birbirinden farklı iki fonksiyon söylemeni isteseydim, sen bana birbirinden farklı iki sayı çifti verecektin. Di mi? (Yani $J$ birebir bir gönderim).

2) Her reel sayı çifti bir fonksiyon belirtiyor. Yani ben sana $48$ ve $30$ sayılarını versem, sen bana $f(a) = 48$ ve $f(b) = 30$ olsun diyerek bir fonksiyon verebiliyorsun mesela. Doğru mu? (Yani $J$ örten).

3) Demek ki $J$ birebir ve örten, doğru mu?

Demek ki neymiş:

$F(S)$ kümesinin elemanlarını $\mathbb{R}^2$ ile eşleyebiliyormuşum.

$$f \leftrightarrow  \begin{bmatrix} f(a) \\ f(b) \end{bmatrix}$$

Şu ana kadar her şey kümeler düzeyinde. Henüz bir cebirsel yapı katmadık işin içine. Ben sorularla devam edeyim:

Senin verdiğin fonksiyon örneği(ne karşılık gelen sayı çifti)

$$J(f) = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

idi. Ben de sana başka bir fonksiyon (sayı çifti) vereyim.

$$J(g) =  \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$$

Bana $2f$ ve  $f+g$ fonksiyonlarının kurallarını yazabilir misin? Yani $2f$ fonksiyonu $a$'yı nereye, $b$'yi nereye götürüyor? Peki $f+g$? Daha derli toplu olmak gerekirse: $J(2f)$ ve $J(f+g)$ nedir?

Bu soruları cevaplayabilirsen buradan devam edelim.

---

$J(f+g)=((f+g) (a),(( f+g) b)=(f(a)+g(a), f(b), g(b))=(4, 6)=(1, 2)+(3,4)=J(f)+J(g)$

$J(2f)=(2.1,2.2)=2(1,2)=2J(f)$ yani dönüşüm lineer. 

---

Demek ki eğer $S$ kümesinin eleman sayısı $2$ ise $F(S)$ uzayı $2$-boyutluymuş. Bunu bütün doğal sayılara genişletmek mümkün mü? Burada $2$'nin herhangi bir önemi var mı? Eğer yoksa şunu kanıtladık:

$S$ sonlu bir küme olmak üzere $F(S)$ uzayının boyutu $S$'nin eleman sayısına eşittir.

Eğer $2$'nin özel bir önemi varsa kanıtlayamadık tabii. Ama diyelim ki teorem doğru genel olarak.

Şimdi Doğan Dönmez'in en başta dediğini yapabiliriz. $S$ ve $T$'nin eleman sayıları eşitse (eşit değilse) $F(S)$ ve $F(T)$'nin boyutları aynıdır (farklıdır).