Question

$n^2+2016n$ ifadesini tam kare yapan en büyük $n$ tam sayısı kaçtır?

Comments

$x^2=2016n+n^2=(n+1008)^2-1008^2$ icin cozum isteniyor.

---

$x^2+1008^2=(n+1008)^2$ olarak da dusunulebilir.

---

$n^2(1+\frac{2016}n)$ olarak yazarsak $1+\frac{2016}n$ ne zaman kare olur sorusuna donusur.

---

Buradan en büyük $n$ tamsayısı $672$ olmaz mı? 

---

Paydasi $n^2$'yi bolen bi kare de olabilir, zaten $n|n^2$. Cok da iyi bir cevap degilmis.

Answer 1

$$x=k^2-1, \text{  } y=2k, \text{  } z=k^2+1$$ üçlüsünün

$$x^2+y^2=z^2\ldots (1)$$

denklemini sağladığını görmek zor değil. Sercan beyin gösterdiği yolu takip edelim.

$$x^2+1008^2=(n+1008)^2$$

$(1)$ no'lu denklemde $x$ yerine $x$, $y$ yerine $1008$ ve $z$ yerine de $n+1008$ gelmiş. O halde

$$2k=1008$$

ve

$$k^2+1=n+1008$$

olacaktır. Buradan

$$k=504$$ ve $$n=503^2=\frac{1006^2}{4}$$ bulunacaktır.

Comments

Hoş bir çözüm.

Answer 2

bir cozumde benden